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数列\suuretu{a_n},\ \suuretu{b_n}の一般項を\ a_n=2^n,\ \ b_n=3n+2\ とする.の共通項を小さい順に並べてできる数列\suuretu{c_n}の一般項を求めよ.$ \\  実際に項を書き出してみると,\ 共通項は次のようになっている. \\[.5zh]  \textbf{\textcolor{red}{共通項は等比数列に着目すると等間隔に表れる}}ことが決定的に重要である. \\  これを\textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{知識として持っておく}}ことが,\ 本問を解く鍵となる. \\\\\\  $a_1=2,\ a_2=4,\ a_3=8\ および\ b_1=5,\ b_2=8 より \textcolor{red}{c_1=8}$ \\[1zh]  $\suuretu{a_n}の第l項と\suuretu{b_n}の第m項が等しいとすると  よって,\ $\textcolor{red}{a_{l+2}は,\ \suuretu{b_n}との共通項である.}$ \\[1zh]  ゆえに,\ $\suuretu{c_n}は,\ \textcolor{red}{初項8,\ 公比2^2=4の等比数列}である.$ \\\\ まず,\ とにかくc_1を求める.\ 次のc_2を求めるときに,\ 持っている知識が役立つ. \\ \bm{等\dot{比}数列の項に着目し,\ それが等差数列\suuretu{b_n}の項であるかを順に確認していく.} \\ 等差数列に着目してしまうと,\ 次の共通項が出てくるまでの無駄が莫大となる. \\[1zh] 例えば,\ a_4=16は\suuretu{b_n}の項だろうか.\ 3n+2=16を満たす整数nは存在しない. \\ これは,\ 16が共通項にはなり得ないことを意味する. \\ では,\ a_5=32は\suuretu{b_n}の項だろうか.\ 3n+2=32\ より,\ n=10 \\ よって,\ 共通項\ a_5=b_{10}=32\ となることがわかる. \\ こうして,\ \bm{a_3以降の等比数列の1つおきの項が共通項}であることが\underline{わかる}. \\[1zh] ここで,\ 「わかる」というのは,\ あくまでも知識を持っていた場合の話である. \\ よって,\ 論理的には不十分であり,\ 実際にはそうなるだろうという予想にすぎない. \\ 等比数列に着目すると等間隔に表れることを厳密に示した解答を作成しよう. \\[1zh] それには,\ \bm{文字を用いて一般化}し,\ \bm{数学的帰納法の要領}で論じていけばよい. \\ まず,\ \suuretu{c_n}のn=1のとき,\ つまり\bm{c_1を求める.} \\ 次に,\ \bm{1つの共通項を仮定し,\ 次の共通項を順に探していく.} \\ つまり,\ n=kのとき,\ c_k=a_l=b_m\ を仮定する. \\ そして,\ 等比数列\suuretu{a_n}に着目し,\ c_{k+1}となるものを順に探していく. \\[1zh] まず,\ a_lの次の項a_{l+1}が\suuretu{b_n}の項であるかを確認する. \\ b_n=3n+2\ より,\ \bm{3○+2\ の形で表現できれば,\ \suuretu{b_n}の項である}といえる. \\ 仮定を用いて変形すると,\ a_{l+1}=3○+1\ となるので,\ \suuretu{b_n}の項とはいえない. \\ 同様に,\ a_{l+2}を調べると,\ 3○+2\ となるから,\ これは\suuretu{b_n}の項といえる. \\ \bm{a_lが共通項であるとき,\ a_{l+2}も共通項であることが一般的に示された}わけである. \\ つまり,\ a_3が共通項ならば,\ a_5,\ a_7,\ a_9,\ \cdots\cdots\ が全て共通項となる. \\ より一般的に言えば,\ \bm{c_k=a_l\ のとき,\ c_{k+1}=a_{l+2}}\ となるのである. \\ 後は初項と公比から一般項を求めてやればよい. \\[1zh] 3○+2なら\suuretu{b_n}の項であることがしっくりこない人もいるかもしれない. \\ \bm{余りに着目}したと考えるのが本質的である. \\ 3n+2が表す数は,\ 見方を変えれば,\ \bm{3で割ったときに2余る数の集合}である. \\ \bm{等比数列2^nの中で,\ 3で割ったときに2余るものを探せば,\ それが共通項}である. \\ 余りに着目する整数問題でよくある変形といえば,\ 納得できる人も多いだろう. \\[1zh] 次のように,\ より余りを意識した解答も可能である. \\ 一般に,\ \bm{「3で割った余りが等しい\ \Longleftrightarrow\ 差が3で割り切れる」}が成立する. \\ よって,\ \bm{a_lを共通項と仮定し,\ 差が3の倍数となるものを順に探していく.} \\ ゆえに,\ \bm{a_lが3で割ると2余る数のとき,\ a_{l+2}も3で割ると2余る数}である. \\ これは,\ a_lが共通項のとき,\ a_{l+2}も共通項となることを意味している.