arithmetic-common-term

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一般項が\ a_n=3n-2,\ b_n=4n-1\ である2つの等差数列\suuretu{a_n},\ \suuretu{b_n}$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$の共通項を小さい方から順に並べてできる数列\suuretu{c_n}の一般項を求めよ.$ \\  $[1]$\ $\bm{\textcolor{magenta}{項を書き出し,\ 初項を探す.の数列の公差の最小公倍数}}$となる. \\[1zh]  の第l項と\suuretu{b_n}の第m項が一致するl,\ mの条件}}を求める.$ \\[.2zh] ax+by=c\ 型の不定方程式}}(整数問題)に帰着する.$ \\\\\\\\ 一般に,\ 等差数列から等間隔で項を取り出して作った数列も等差数列となる. \\ これ以上なくわかりやすいが,\ 厳密さに欠けるために推奨できない. l,\ mが自然数であることより,\ kは自然数である.}}}$ \\[.5zh] 文字によって一般化されているので,\ \suuretu{c_n}の一般項が厳密に求まる. \\[1zh] \bm{ax+by=c型(\underline{a,\ bは互いに素})の不定方程式}の解法を簡単に確認しておく. \\ まず,\ 何とかして整数解を1組探し出す.\ 本問では,\ \bm{(l,\ m)=(-1,\ -1)}\ がある. \\ 元の方程式から,\ 探し出した整数解を代入したものを引き,\ 一方を移項する. \\ これで,\ \bm{aX=bY型(\underline{a,\ bは互いに素})の不定方程式}に帰着する. \\ a,\ bは互いに素なので,\ 等号が成立するには,\ Xがbの倍数でなければならない. \\ 整数kを用いて,\ X=bkと表せる.\ また,\ このとき\ Y=ak\ となる. \\[1zh] l,\ mが整数kの式で表され,\ a_{4k-1}=b_{3k-1}\ が成立することがわかる. \\ このときの共通項は,\ a_{4k-1}\ か\ b_{3k-1}\ のどちらかを求めればよい. \\ 結局,\ a_3=b_2=7\ (k=1),\ \ a_7=b_5=19\ (k=2)\ となっていくことがわかる. \\[1zh] 最後,\ kをnに置換すれば,\ \suuretu{c_n}の一般項となる. \\ ここで,\ 単純にkとnを置換できるわけではなく,\ 互いの対応の確認を要する. \\ \bm{\suuretu{c_n}のnが1から始まるようにしなければならない}からである. \\ l,\ mは自然数であるから,\ 整数kは4k-1\geqq1,\ 3k-1\geqq1を満たす必要がある. \\ つまり,\ k\geqq\bunsuu12,\ k\geqq\bunsuu23\ より,\ k\geqq1\ (kが自然数)のとき,\ 条件を満たす. \\ よって,\ この場合のkは1から始まるといえる. \\ \suuretu{c_n}のnとkが完全に一致しており,\ 単純に置換してもよいことがわかる. \\[1zh] nとkの対応がどうなるかは,\ 不定方程式を解くときに用いた整数解に依存する. \\ 例えば,\ (l,\ m)=(3,\ 2)\ を用いると,\ l=4k+3,\ m=3k+2\ として求まる. \\ このとき,\ a_{4k+3}=3(4k+3)-2=12k+7\ より,\ 単純にk=nとすると間違える. \\ 4k+3\geqq1,\ 3k+2\geqq1\ より,\ k\geqq0\ のとき,\ 条件を満たす. \\ よって,\ この場合のkは0から始まることになる. \\ 結局,\ このときの\suuretu{c_n}のnとkの対応は\ \bm{k=n-1}\ である. \\ よって,\ 12k+7=12(n-1)+7=12n-5\ としなければならないのである.