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次の和を求めよ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}\ (1)\ \ $\retuwa{k=1}{n-2}k\ \ (n\geqq3)$  \ \ (2)\ \ $\retuwa{k=0}{n}(k+1)$  \ \ (3)\ \ $\retuwa{k=4}{n}k\ \ (n\geqq4)$  \ \ (4)\ \ $\retuwa{k=1}{n}2^{k-1}$ \\
\\[-.8zh] \hline
\end{tabular} \\\\
\centerline{{\Large \textbf{\textcolor{blue}{$\bm{基本的な\retuwa{}{}計算}$}}}} \\\\[.5zh] これらの問題はΣ公式と微妙に異なるので,\ 初学者が扱いに戸惑う. \\[.2zh] いずれも\textbf{\textcolor{red}{Σは単なる和}}であることさえ理解できていれば,\ 簡単に扱える.
本問は\bm{k=1からk=n-2までの和}であるから,\ 公式の\bm{nにn-2を代入}すればよい. \\[.2zh] なお,\ 本問でn=1とすると\retuwa{k=1}{-\,1}k,\ つまりk=1からk=-\,1までの和となり意味不明になる. \\[1zh] そこで,\ 通常はn\geqq1だが,\ 本問ではn\geqq3としている.
Σ公式はすべてk=1からの和を公式化したものである. \\[.2zh] Σは単なる和なのであるから,\ 単純に\bm{k=0のときだけを分割}して考えればよい. \\[1zh] Σの性質を用いて分割すると,\ Σ公式\retuwa{k=1}{n}k=\bunsuu12n(n+1),\ \retuwa{k=1}{n}c=cnを適用できるようになる.
ただし,\ 分割した式をいちいち記述する必要は全くないので,\ 解答のように記述すれば十分である. \\[.2zh] Σ公式適用後は,\ \bm{できる限り因数分解する方向で式を整理}する.
このとき,\ 括弧内が分数にならないよう,\ 分数もくくり出すこと.
本問は\bm{k=4からk=nまでの和}である. \\[.2zh] \bm{k=1からk=nまでの和からk=1からk=3までの和を引く}と考え,\ Σ公式を適用する.
参考書などには,\ \retuwa{k=1}{n}r^{k-1}=\bunsuu{r^n-1}{r-1}\ (r\neqq1)のような怪しげな公式が載っていたりする. \\[1zh] しかし,\ 絶対にこんなものを\bm{公式として丸暗記してはならない.} \\[.2zh] 和を書き出してみると \retuwa{k=1}{n}r^{k-1}=\bm{r^0+r^1+r^2+\cdots\cdots+r^{n-2}+r^{n-1}} \\[1zh] これは,\ \bm{初項r^0(=1),\ 公比r,\ 項数nの等比数列の和}であり,\ 等比数列の和の公式で求められる. \\[.2zh] 繰り返すが,\ 本問は和を書き出して等比数列の和とみるべき問題である. \\[.2zh] 決して,\ (1)~(3)のようにΣ公式を暗記してあてはめる問題ではない. \\[.2zh] 誤った学習をしていると応用が利かなくなるので注意してほしい. \\[1zh] ところで,\ \retuwa{k=1}{n}r^{k-1}\,につられて\,\retuwa{k=1}{n}r^{k-1}=\bunsuu{1(r^{n-1}-1)}{r-1}\,としてしまう\bm{誤り}が多い. \\[1zh] Σや等比数列の和の公式の正しい理解があれば,\ このような誤りは起こらない. \\[.2zh] まず,\ 等比数列の和の公式のnは項数のことである.\ つまり,\ \bunsuu{a(r^{\bm{項数}}-1)}{r-1}\ である. \\[.8zh] \retuwa{k=1}{n}ならばk=1からk=nまでの和であるから項数はn個であり,\ \bunsuu{1(r^n-1)}{r-1}\ となるはずである. \\[1zh] \retuwa{k=1}{n}r^{k-1}だろうが\retuwa{k=1}{n}r^{k-2}だろうが,\ 項数はn個である. \\[1zh] もし\retuwa{k=1}{n-1}r^{k-1}\,であったならば,\ 項数はn-1個になるから,\ \bunsuu{1(r^{n-1}-1)}{r-1}\ となる.$次の数列の初項から第n項までの和を求めよ.$ \\[1zh] (1)\ \ 与えられた数列の$第k項をa_k,\ 求める和をS_nとする
(2)\ \ 与えられた数列の$第k項をa_k,\ 求める和をS_nとする.
(1)\ \ 第k項がkの整式で表せるならば,\ 後は単純なΣ計算になる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 左側の2,\ 3,\ 4,\ \cdots\ は,\ 初項2,\ 公差1の等差数列である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 等差数列の一般項の公式\ a_n=a+(n-1)d\ より,\ 第k項は\ \ 2+(k-1)\cdot1=k+1 \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 右側の1,\ 3,\ 5\ \cdots\ は,\ 初項1,\ 公差2の等差数列なので,\ 第k項は\ \ 1+(k-1)\cdot2=2k-1 \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ a_k=(k+1)(2k-1)のΣ計算となるが,\ \retuwa{k=1}{n}(k+1)\times\retuwa{k=1}{n}(2k-1)と分割してはならない. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ (積のΣ)=(Σの積)は一般には成り立たないからである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 一方で,\ \retuwa{k=1}{n}pa_k=p\retuwa{k=1}{n}a_k,\ \ \retuwa{k=1}{n}(a_k+b_k)=\retuwa{k=1}{n}a_k+\retuwa{k=1}{n}b_k\ が成り立つのであった(Σの性質). \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ 一旦\bm{展開}し,\ \retuwa{k=1}{n}(2k^2+k-1)=2\retuwa{k=1}{n}k^2+\retuwa{k=1}{n}k-\retuwa{k=1}{n}1\ としてΣ公式を適用する. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 公式\ \ \retuwa{k=1}{n}k^2=\bunsuu16n(n+1)(2n+1) \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ この過程を答案に書く必要はない.\ というより,\ 時間の無駄なので書くべきではない. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ Σ公式適用後は,\ \textbf{可能な限り因数分解する方向で式を整理する.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ このとき,\ 最初の2つの項から\ n(n+1)\ をくくりだそうとする人が少なくない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ そうすると,\ 3項目のnが中途半端に残ってしまい,\ 因数分解する意味がない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{3つの項全てに共通するnのみをくくりだして整理}するのが正解である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ また,\ 括弧内が分数にならないように,\ 分数もくくり出す. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bunsuu13\,と\,\bunsuu12\,であるから,\ \bunsuu16\,をくくり出すと括弧内が分数にならずに済む. \\[1.5zh] \phantom{(1)}\ \ 数列分野は\bm{容易に検算できる}ことが多い分野である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 問題から,\ S_1=2\cdot1=2,\ \ S_2=2\cdot1+3\cdot3=11がわかる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 求まったS_n\,にn=1,\ 2を代入してみると,\ S_1=2,\ S_2=11となることが確認できる. \\[1zh] (2)\ \ 右側の3,\ 5,\ 7,\ \cdots\ は,\ 初項3,\ 公差2の等差数列なので,\ 第k項は\ \ 3+(k-1)\cdot2=2k+1 \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 公式\retuwa{k=1}{n}k^3=\left\{\bunsuu12n(n+1)^2\right\}\,は,\ \bunsuu14n^2(n+1)^2\,として代入したほうが後処理がしやすい. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 最後,\ S_1=1\cdot3^2=9,\ \ S_2=1\cdot3^2+2\cdot5^2=59と矛盾しないかを確認して完了する.