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\bm{\textcolor{cyan}{\retuwa{}{}}\ (シグマ)}$がよくわからないという学生は多い. \\
しかし,\ $\bm{\textcolor{cyan}{\retuwa{}{}}}$が意味するのは{\Large \textbf{\textcolor{red}{単なる和}}}であり,\ それ以上でもそれ以下でもない. \\
毎回,\ $1+2+3+\cdots\cdots+100$\ のように和を書くのは面倒である. \\[.2zh] だから決めたのだ.\ \ $1+2+3+\cdots\cdots+100$を$\retuwa{k=1}{100}k$\ と表そうではないかと. \\[1zh] $\bm{\textcolor{cyan}{\retuwa{k=1}{n}}}は,\ \bm{\textcolor{red}{変数kを1からnまで変化させ,\ その和をとる}}ことを意味する.$
$何よりも強く言いたいのは,\ 次の一言に尽きる.$ \\[.5zh] \textbf{$\bm{\textcolor{cyan}{\retuwa{}{}}}$\ を見かけたとき {\large 「\textcolor{red}{意味がわからなければ和の形で書き出せ}」}} \\[1zh] いくつか具体例を示す.\ 和の形にして書き出しただけである. \\[.2zh] これらの和をどのように計算するかは後で学習する. \\[.5zh] {和の形で書き出されているならば,\ $\bm{\retuwa{}{}}$で簡略化して表すことができる.} \\[-.3zh] \textcolor[named]{ForestGreen}{双方向の変換を状況に応じて自在に行えるか}}が重要である. \\\\
とすると規則性がわからなくなるので,\ Σが積の形ならば積の形で留めておく. \\
\retuwa{k=1}{n+1}はk=1からk=n+1まで,\ \retuwa{k=2}{n}はk=2からk=nまでの和であることに注意. \\\\
Σ記号の意味を一旦理解してしまえば,\ 和の形で書き出すのは容易である. \\[.2zh] しかし,\ より重要なのはその逆の\bm{和の形をΣで表す}ことであり,\ 以下の問題で演習する.
(1)\ \ \retuwa{}{}a_k\,の形で表すことは,\ \bm{k番目の項a_k\,をkの式で表す}ことである. \\
\phantom{(1)}\ \ 2乗は変化していないから,\ 2,\ 5,\ 8,\ \cdots\cdots\ をkの式で表せばよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ これは初項2,\ 公差3の等差数列である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 等差数列の一般項の公式\ a_n=a+(n-1)dより,\ 第k項は\ 2+(k-1)3=3k-1\ とわかる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ \retuwa{}{}(3k-1)^2\,となる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ また,\ a_k=(3k-1)^2\,とすると,\ 2^2\,はa_1,\ (3n-1)^2\,はa_n\,に対応する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ k=1からk=nまでの和であり,\ \retuwa{k=1}{n}(3k-1)^2\ となる. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 問題に書いてある(3n-1)^2\,をそのままkにするだけでいいのではと思ったかもしれない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ しかし,\ nの式で表されているからといってそれがn項目とは限らず,\ n-1項目かもしれない. \\
\phantom{(1)}\ \ もしもn-1項目だったならば,\ \retuwa{k=1}{n-1}としなければならないはずである. \\[.5zh] \phantom{(1)}\ \ 本問はたまたま(3n-1)^2\,がn項目だったので,\ \retuwa{k=1}{n}(3k-1)^2\ となっただけなのである. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 理解が不足していると,\ 本問はたまたま正解できても(3)は間違えることになる. \\[1zh] (2)\ \ \bm{各項が積の形で表されている場合,\ 積の左側と右側を別の数列とみなして考えればよい.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 左側の1,\ 5,\ 9,\ \cdots,\ 29は,\ 初項1,\ 公差4の等差数列より,\ 第k項は\ 1+(k-1)4=4k-3 \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ また,\ 4k-3=29よりk=8なので29は8番目の項であり,\ 全部で8項の和であるとわかる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 右側の3,\ 3^3,\ 3^5,\ \cdots\cdots\,は,\ 初項3,\ 公比3^2\,の等比数列である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 等比数列の一般項の公式a_n=ar^{n-1}\,より,\ 第k項は\ 3\cdot(3^2)^{k-1}=3\cdot3^{2k-2}=3^{2k-1}\ とわかる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ k=8のとき3^{15}\,となることも確認でき,\ (4k-3)\cdot3^{2k-1}\,のk=1からk=8までの和となる. \\[1zh] (3)\ \ 分子は変化しないので考えるまでもない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 分母の左側の2,\ 3,\ 4,\ \cdots\cdots,\ n-1は,\ 初項2,\ 公差1の等差数列である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 第k項はa_k=2+(k-1)\cdot1=k+1だが,\ 注意すべきは項数である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ n-1はa_k=k+1の等差数列のn-2項目であり,\ \bm{項数n-2個の和}であるとわかる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 分母の右側の3,\ 4,\ 5,\ \cdots\cdots,\ nは,\ 初項3,\ 公差1の等差数列である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 第k項はa_k=3+(k-1)\cdot1=k+2である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 結局,\ \bunsuu{2}{(k+1)(k+2)}\,のk=1からk=n-2までの和となる. \\[.6zh] \phantom{(1)}\ \ 問題の\,\bunsuu{2}{(n-1)n}\,を利用し,\ 単純に\retuwa{k=3}{n}\bunsuu{2}{(k-1)k}\,とすればよいと考えた学生もいるだろう. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ これでも正解である.\ このように,\ Σの表現は1通りではない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 通常はk=1からとすることが多いので,\ それを本解としたわけである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ どちらの形が優位かは状況次第なので,\ 両方の変換をできるようにしておくべきである. \\[1zh] (4)\ \ 左側は1,\ 2,\ 3,\ \cdots\cdots,\ nなので,\ 第k項はkである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 右側のn,\ n-1,\ n-2,\ \cdots\cdots,\ 2,\ 1は,\ 初項n,\ 公差-1の等差数列である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ 第k項はa_k=n+(k-1)(-\,1)=n-k+1となる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ あるいは,\ n-0,\ n-1,\ n-2,\ \cdots\cdots,\ n-(n-2),\ n-(n-1)と考えてもよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ n-の部分はすべて同じ,\ 残りの0,\ 1,\ 2,\ \cdots\cdots,\ n-1は初項0,\ 公差1の等差数列である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ この部分の第k項は0+(k-1)\cdot1=k-1である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ゆえに,\ n-0,\ n-1,\ \cdots\cdots,\ n-(n-1)の第k項は,\ a_k=n-(k-1)=n-k+1となる.