※ (2)のΣの中の4k-3は4i-3の間違いですm(_ _)m

sum-sum

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次の数列の初項から第n項までの和S_nを求めよ.$ \\[.5zh] 本問のポイントは,\ \bm{「第k項が表せるか」「nを含むΣ計算」}の2点である. \\[1zh] 例えば,\ 「2,\ 5,\ 8,\ \cdots\cdots,\ 3n-1\ の和を求めよ」という問題があったとする. \\ このとき,\ 第k項は\ 3k-1\ となるから,\ \retuwa{k=1}{n}(3k-1)\ を計算すればよい. \\ 第n項が3n-1より,\ 第k項が3k-1と表されることはすぐにわかるのである. \\[1zh] 本問の数列の第k項を表そう. \\ 左側は,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots\cdots\ であるから,\ 第k項はkである. \\ 右側は,\ n-1,\ n-2,\ n-3,\ \cdots\cdots\ であるから,\ 第k項はk-k=0\ ??? \\[.5zh] 先の例と混同し,\ nをkに変えると考えてこのように間違える人が少なくない. \\ よって,\ \bm{1からnまで変化する部分を\underline{変数}\ k}として,\ 3k-1とできたのである. \\[1zh] 逆に言えば,\ \bm{変化しない部分を\underline{変数}\ kに置き換えてはいけない.} \\ よって,\ n-1,\ n-2,\ n-3,\ \cdots\cdots\ の第k項は,\ n-k\ と表される. \\ ここに含まれる\bm{nは変化しない\underline{定数}部分}なので,\ kにしてはいけないのである. \\[1zh] 第k項が\ k(n-k)\ とわかるが,\ これを\bm{\underline{変数}\ kで整理}する. \\ \bm{\underline{定数}\ nは単なる係数}(2や3と同じ)なので,\ \bm{Σの前に出す}ことができる. \\ 後は,\ Σ公式を適用し,\ 因数分解する方向で式を整理していけばよい.  (2)\ $与えられた数列の第k項をa_kとする 和S_nを求めるわけだが,\ \bm{一般項a_k自体が和}である. \\ S_n=1+(1+5)+(1+5+9)+\cdots\cdots\ のように,\ \bm{和の和}を求めることになる. \\ まず,\ 一般項a_kをkの式で表す. \\ a_kは,\ \bm{初項1,\ 公差4,\ 項数kの等差数列の和}である. \\ 初項と公差はすぐわかるが,\ 項数がkであることに注意して欲しい. \\ 第1項は1個,\ 第2項は2個の和,\ 第3項は3個の和なので,\ 第k項はk個の和だ. \\ この\bm{等差数列の一般項は\ 1+(k-1)\cdot4=4k-3}\ である. \\ これをΣ計算し,\ 第1項から第k項までの和を求める. \\ このとき,\ \bm{変数はk以外の文字を使用}することになる. \\ 後でさらにΣ計算することを見越し,\ \bm{因数分解しない方向で整理}する. \\[1zh] \bm{等差数列の和の公式}でa_kを求めてもよい. \\ こうして求まったa_kをさらにΣ計算するとS_nが求まる. \\ \end{array}}\right]$}} \\\\\\\\  (3)\ $与えられた数列の第k項をa_kとする.$ \\[.5zh] a_kが等比数列の和になっただけで,\ 実質(2)と同じ問題である. \\ a_kは,\ \bm{初項1,\ 公比2,\ 項数kの等比数列の和}である. \\ 1=2^0から始まり,\ 全部でk個あるから,\ 最後の項は2^{k-1}である. \\ \bm{等比数列の和の公式}を用いてa_kを求める. \\[1zh] a_kをΣ計算し,\ S_nを求める. \\ \retuwa{k=1}{n}2^k=2^1+2^2+\cdots+2^n\ より,\ \bm{初項2,\ 公比2,\ 項数nの等比数列の和}である. \\ 再び等比数列の和の公式を用いて計算することになる.