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次の数列の初項から第n項までの和S_nを求めよ.$ \\[1zh] 左側の1,\ 2,\ 3,\ \cdots\cdots\ の第k項はkであることはすぐにわかる. \\[.2zh] 右側のn,\ n-1,\ n-2,\ \cdots\cdots\ は,\ 初項n,\ 公差-1の等差数列である. \\[.2zh] 等差数列の一般項の公式a_n=a+(n-1)dより,\ 第k項は\ \ a_k=n+(k-1)(-\,1)=n-k+1 \\[.2zh] n-0,\ n-1,\ n-2,\ \cdots\cdots\ とみなし,\ n-(k-1)=n-k+1と考えてもよい. \\[.2zh] \retuwa{k=1}{n}k(n-k+1)を計算することになるが,\ \bm{kは変数,\ nは定数}であることに注意する. \\[1zh] よって,\ \bm{変数kで整理}すると,\ \bm{定数nは単なる係数なのでΣの前に出せる}. \\[.2zh] 後は,\ Σ公式を適用し,\ 因数分解する方向で式を整理する. \\[1zh] 本問も検算が容易な問題である. \\[.2zh] 問題から, n=1のときS_1=1\cdot n=1\cdot1=1とわかる. \\[.2zh] また,\ \ n=2のときS_2=1\cdot n+2\cdot(n-1)=1\cdot2+2\cdot(2-1)=4とわかる. \\[.2zh] 求まったS_n\,にn=1,\ 2を代入すると,\ 確かにS_1=1,\ S_2=4となる.
和S_n\,を求めるわけだが,\ \bm{一般項a_k\,自体が等差数列の和}である. \\[.2zh] よって,\ 和の和S_n=1+(1+5)+(1+5+9)+\cdots\cdots\ を求めることになる. \\[.2zh] 難しく考える必要はなく,\ まずは一般項a_k\,をkの式で表す. \\[.2zh] a_k\,は,\ \bm{初項1,\ 公差4,\ 項数kの等差数列の和}である. \\[.2zh] 初項と公差はすぐわかるが,\ 項数がkであることに注意してほしい. \\[.2zh] 第1項は1個だけ,\ 第2項は2個の和,\ 第3項は3個の和なので,\ 第k項はk個の和である. \\[.2zh] 初項a,\ 公差d,\ 項数nの等差数列の和の公式\ \bunsuu12n\{2a+(n-1)d\}を適用すると,\ a_k\,が求まる. \\[.8zh] 後は基本的なΣ計算である.
a_k\,が\bm{初項1,\ 公比2,\ 項数kの等比数列の和}になっただけで,\ 実質(2)と同じ問題である. \\[.2zh] 初項a,\ 公比r,\ 項数nの等比数列の和の公式\ \bunsuu{a(r^n-1)}{r-1}\ を適用すると,\ a_k\,が求まる. \\[.8zh] \retuwa{k=1}{n}1=n,\ \ \retuwa{k=1}{n}2^k\,は和の形で書き出して考える. \\[1zh] \retuwa{k=1}{n}2^k=2^1+2^2+\cdots\cdots+2^n\ より,\ \bm{初項2,\ 公比2,\ 項数nの等比数列の和}である. \\[1zh] もう一度等比数列の和の公式を用いて計算すればよい.
(4)\ \ $与えられた数列の第k項をa_kとする.$ \\[.5zh] 2乗の和はΣ計算しなければ求められないので,\ a_k\,を求めるためにまずΣ計算する. \\[.2zh] 第k項は1^2+2^2+3^2+\cdots\cdots+k^2\ であるから,\ \retuwa{}{k}とする必要がある. \\[.2zh] つまり,\ 変数には別の文字を使う必要がある.\ 何でもよいが,\ iを用いるのが普通である. \\[.2zh] こうしてa_k\,が求まれば,\ 後は普通のΣ計算である.