sigma-formula

検索用コード
前述の通り,\ Σが単なる和であることを考慮すると当然である. \\ \text{[2]~[4]}は,\ \bm{丸暗記}を要する. \\ ちなみに,\ [2]は\bm{初項1,\ 末項n,\ 項数nの等差数列の和}として導かれる. \\ 最も重要なのは[3]である.\ 間違えやすいので,\ 正しく暗記しておくこと. \\ \text{[4]}は[2]を2乗したものなので覚えやすい. \\ 実際,\ 1^3+2^3=(1+2)^2,\ 1^3+2^3+3^3=(1+2+3)^2\ などが成立している. 次の和を求めよ.$ \\[.5zh]  公式と微妙に異なるこれらの問題は,\ 初学者が扱いに戸惑う. \\  $いずれも,\ \retuwa{}{}$が\textbf{\textcolor{red}{単なる和}}であることを認識できていれば,\ 簡単に扱える. \\\\\\ k=1からk=n-2までの\bm{n-2個の項の和}である. \\ Σ公式は,\ k=1からk=nまでの和である. \\ よって,\ 公式の\bm{nにn-2を代入}すればよい. Σ公式はk=1からでなければ適用できない. \\ そこで,\ Σが単なる和であることを利用し,\ \bm{k=0のときだけを分割}すればよい. \\ なお,\ Σ公式適用後は,\ \bm{できる限り因数分解する方向で式を整理}する. \\ このとき,\ 括弧内が分数にならないように,\ 分数も無理矢理にでもくくり出す. \bm{4からnまでの和}である. \\ Σ公式を利用するには,\ \bm{1からnまでの和から,\ 1から3までの和を引けばよい.} 頻出であるが,\ 求めることができない人が多い. \\ 正体を探るために,\ 和を書き出してみる. \\ \retuwa{k=1}{n}2^{k-1}=\bm{2^0+2^1+2^2+\cdots\cdots+2^{n-2}+2^{n-1}} \\ これは,\ \bm{初項2^0(=1),\ 公比2,\ 項数nの等比数列の和}である. \\ 一般に,\ \bm{\retuwa{k=1}{n}r^k\ は等比数列の和の公式で求める}ことになる. \\ このとき,\ 2^{k-1}を見て,\ 項数をn-1個と考えてはいけない. \\ \bm{k=1からk=nまで足す}から,\ 2^{k-1}だろうが2^{k-2}だろうが項数はn個である. 次の数列の初項から第n項までの和を求めよ.$ \\[.5zh]  代表的な和の問題は,\ まず$\bm{\textcolor{red}{第k項をkの式で表し,\ \retuwa{}{}計算に持ち込む.}}$ \\\\\\  与えられた数列の$第k項をa_k,\ 求める和をS_nとする.$ まず,\ 与えられた数列の規則を見抜き,\ kの式にする必要がある. \\ 各項が積で表されているが,\ 左側と右側に分けると,\ それぞれに規則性が見つかる. \\[1zh] 左側は\ 2,\ 3,\ 4,\ \cdots\cdots\ であり,\ これは\bm{初項2,\ 公差1の等差数列}である. \\ よって,\ 等差数列の一般項の公式\ a_n=a+(n-1)d\ を利用すればよい. \\ 左側の第k項は 2+(k-1)\cdot1=k+1 \\[1zh] 同様に,\ 右側は\ 1,\ 3,\ 5\ \cdots\cdots\ であり,\ \bm{初項1,\ 公差2の等差数列}である. \\ 右側の第k項は 1+(k-1)\cdot2=2k-1 \\[1zh] ゆえに,\ 与えられた数列の第k項a_kは a_k=(k+1)\cdot(2k-1) \\ 後はこれをΣ計算して和を求めればよい. \\[1zh] これは答案には書く必要はない.\ というより,\ 時間の無駄なので書くべきではない. \\[1zh] Σ公式適用後は,\ \textbf{可能な限り因数分解する方針}で式を整理する. \\ このとき,\ 最初の2つの項から\ n(n+1)\ をくくりだそうとする人が少なくない. \\ そうすると,\ 3項目のnが中途半端に残ってしまい,\ 因数分解する意味がない. \\ \bm{3つの項全てに共通するnのみを全体からくくりだして整理}しなければならない. \\ また,\ 括弧の中が分数にならないように,\ 分数も無理矢理にでもくくり出す.