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x$を超えない最大の整数を$\gauss x$と表す. \\[.2zh] \hspace{.5zw}数列$\{a_n\}$が$a_n=\gauss{\ruizyoukon n}$で定められるとき,\ $S=a_1+a_2+\cdots\cdots+a_{100}$を求めよ. \\
の整数部分による群数列}$}}}} \\\\[.5zh] 正体がわかりづらい数列は,\ 具体的に考えて規則性を見いだすことが重要である. \\[1zh] $第k群の自然数はkである.$ \\[.2zh] $a_n=k$となるのは,\ $\textcolor{forestgreen}{k\leqq\ruizyoukon n<k+1}$のときである. \\[.2zh] $このとき k^2\leqq n<(k+1)^2$ \\[.2zh] $n$は整数であるから $k^2\leqq n\leqq(k+1)^2-1$ つまり $\textcolor{forestgreen}{k^2\leqq n\leqq k^2+2k}$ \\[.2zh] $よって,\ 第k群の項数は\ \ (k^2+2k)-k^2+1=\textcolor{red}{2k+1\ 個}$ \\[1zh] $k=9のときk^2+2k=99であるから,\ \textcolor{magenta}{a_{100}\,は第10群の1項目}である.$ \\[1zh] \centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l}
ガウス記号[ ]のせいでわかりづらいが,\ 要は\bm{\ruizyoukon n\,の整数部分の数列}である. \\[.2zh] 具体的に考えることで,\ 第1群は1が3個,\ 第2群は2が5個,\ 第3群は3が7個であるとわかる. \\[.2zh] 各群の項数は等差数列になっていそうだが,\ この先もずっと等差であるという保証はない. \\[.2zh] \bm{文字を用いて一般化し,\ 数式的に等差数列をなすことを確認する}ことになる. \\[1zh] いきなり一般化するのが難しいならば,\ まずは具体的に考えてみるとよい. \\[.2zh] a_n=1となるのは1\leqq\ruizyoukon n<2,\ \ a_n=2となるのは2\leqq\ruizyoukon n<3のときである. \\[.2zh] 一般化すると,\ a_n=kとなるのは\bm{k\leqq\ruizyoukon n<k+1}のときである. \\[.2zh] つまり,\ a_n=kとなるのはk^2\leqq n<(k+1)^2\,のときである. \\[.2zh] nとkが整数であることを考慮すると,\ \bm{k^2\leqq n\leqq(k+1)^2-1}となる. \\[.2zh] 整数k^2\,から整数k^2+2k\,までの整数の個数は(k^2+2k)-k^2+1である. \\[.2zh] (k^2+2k)-k^2\,だけだとk^2\,自身も引かれてしまうので+1が必要である. \\[.2zh] 結局,\ a_n=k\,となる第k群の項数が2k+1であることが示される. \\[1zh] 群数列の基本からいえば,\ 最初に第n群の終わりまでの項数の和を求める必要がある. \\[.2zh] しかし,\ 本問の場合はa_n=kとなる第k群のnがk^2\,からk^2+2k\,までであることが既知である. \\[.2zh] これは\bm{最初から第k群の終わりまでの項数がk^2+2k個}であることを意味している. \\[.2zh] 和Sを求めるには,\ a_{100}\,が第何群の何番目かがわかればよい. \\[.2zh] kに適当な整数を代入し,\ k^2+2kが100に近い値となる付近を探る. \\[.2zh] すると,\ 第9群の終わりまでに99項あることがわかる. \\[1zh] 第k群にはkが2k+1個あるから,\ 第k群の和はk(2k+1)である. \\[.2zh] 第9群まではk(2k+1)の和をとればよい.\ つまり,\ Σ計算である. \\[.2zh] これに第10群1項目の10を足せば答えである.