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50を2個以上の連続する自然数の和で表す表し方をすべて求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ $2^k\ (k:自然数)$は2個以上の連続する自然数の和で表せないことを示せ. \\
続する自然数の和で表せる自然数}$}}}} \\\\[.5zh] (1)\ \ $m$から始まる$n$個の連続する自然数の和は \\[
\phantom{ (1)}\ \ $(2m+n-1)-n=2m-1>0より,\ \textcolor{cyan}{2m+n-1>n\geqq2}である.$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ また,\ 差$2m-1$は奇数であるから,\ \textcolor{cyan}{$n$と$2m+n-1$の偶奇は異なる.} \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $2m+n-1>n$で$n$と$2m+n-1$の偶奇は異なるから\ \ $(n,\ 2m+n-1)=(1,\ 2^{k+1})$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ これは,\ \textcolor{magenta}{$n\geqq2$に矛盾する.} \\\\
\centerline{$\therefore\ \ \bm{2^k\,は2個以上の連続する自然数の和で表せない.
(1)\ \ 本問の自然数の和は,\ どこからの和かも何個の和かも不明である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 仕方ないので,\ どちらも文字で設定して条件を立式する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{初項m,\ 公差1,\ 項数nの等差数列の和}となるから,\ S=\bunsuu12n\{2a+(n-1)d\}\ を適用できる. \\[.8zh] \phantom{(1)}\ \ 結局,\ n(2m+n-1)=100を満たす自然数(m,\ n)を求めることに帰着する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ ここまで来れば,\ 後は数列ではなく整数の\bm{不定方程式}の問題である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 文字2つに対して式が1つしかないが,\ mとnが整数という条件があるので特定できる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 掛けて100となる整数の組を考えればよいが,\ \bm{最初に可能性を絞り込んでおく}と後が楽になる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{各因数の範囲および因数の差を調べてみることで絞り込める}可能性があるのであった. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 題意より,\ n\geqq2である.\ また,\ m\geqq1より,\ (因数の差)=2m-1>0である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ こうして,\ nと2m+n-1の大小関係がわかる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ さらに,\ 2m-1は奇数を表すから,\ nと2m+n-1の一方は偶数,\ 他方は奇数である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 掛けて2^2\cdot5^2となる組み合わせの中で,\ 2m+n-1>n\geqq2を満たし,\ 偶奇が異なる組を探す. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 両方偶数になってしまうので,\ 2個の2を分けるわけにはいかない. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 結局,\ 2個の5を分けるか分けないかで2組存在することがわかる. \\[1zh] (2)\ \ (1)と同様に考えていくと,\ 条件を満たす自然数(m,\ n)の組が存在しないことがわかる.