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n\geqq2とする.\ n個の自然数,\ 1,\ 2,\ \cdots\cdots,\ nの中から,\ 異なる2個の自然数を取り出$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$して作った積の総和Sを求めよ.$ {異なる2数の積の総和}$}}}} \\\\[.5zh] 小さい$n$で具体的に考えてみる. \\[.5zh] つまり,\ 求めるべき和は次である.
本問はまともにやると面倒である.\ \{展開公式を利用する非常にスマートな方法}}がある. \\\\
一般に,\ 次のように式を展開し整理すると,\ \{異なる2数の積の総和}}}が表れる. \\[.5zh] 一般化した式をSについて解くと,\ 結局Σ公式に帰着する. \\[1zh] 最後はn=1,\ 2あたりを代入し,\ 検算して完了する. \\[.2zh] n=1のとき2,\ n=3のとき11となり,\ 確かに最初の具体例と一致する.
}(x+n)の展開式のx^{n-1}\,とx^{n-2}\ (n\geqq2)の係数を求めよ.$ \\
$=\bm{\bunsuu{1}{24}n(n+1)(n-1)(3n+2)}$ {\small [\,\textcolor{brown}{前問と同様にして}\,
そもそも,\ \bm{展開することは各因数から1項ずつ選んで掛けたものを足し合わせること}であった. \\[.2zh] 例えば,\ (x+1)(x+2)において,\ 左の因数からx,\ 右の因数からxを選ぶとx^2\,ができる. \\[.2zh] 同様に,\ 左から1,\ 右からxを選ぶとx,\ 左からx,\ 右から2と選ぶと2xができる. \\[.2zh] さらに,\ 左から1,\ 右から2を選ぶと2ができるので,\ 展開式がx^2+x+2x+2となるわけである. \\[1zh] さて,\ (x+1)(x+2)(x+3)\,\bm{\cdot}\,\cdots\cdots\,\bm{\cdot}\,(x+n)のx^{n-1}\,の項の係数について考える. \\[.2zh] x^{n-1}\,の項は,\ n個ある因数のうちn-1個からx,\ 残り1個の因数から定数を選んでできる. \\[.2zh] n個の因数の定数部分はそれぞれ1,\ 2,\ \cdots\cdots,\ nであるから,\ x^{n-1}\,の係数はこれらの和となる. \\[1zh] x^{n-2}\,の項は,\ n個ある因数のうちn-2個からx,\ 残り2個の因数から定数を選んでできる. \\[.2zh] 結局,\ \bm{x^{n-2}\,の係数は,\ 1,\ 2,\ \cdots\cdots,\ nから2個選んでできる積の総和}となるわけである.