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2と9の間にあって,\ 5を分母とする既約分数の和Sを求めよ.$ \\
{既約分数の和}$}}}}}{既約分数} \textcolor{magenta}{互いに素な自然数$\bm{m,\ nを用いて,\ \bunsuu mn\ (n\neqq1)\ と表される数}$}} \\[.2zh] 要は,\{それ以上約分できない最も簡単な分数}}である(既に約されている分数). \\\\
いきなり$S$を求めようとしても難しいので,\ まずは具体的に考えてみる. \\[.2zh] $2=\bunsuu{10}{5},\ \ 9=\bunsuu{45}{5}$に注意して2から9までの分母5の分数を書き出すと,\ 次のようになる. \\[.5zh] これは,\ $\textcolor{cyan}{初項\ \bunsuu{10}{5},\ 公差\ \bunsuu15\ の等差数列}である.$ \\[.5zh] ただし,\ この中には\textcolor{red}{既約分数でないもの(整数)}も含まれる. \{(既約分数の和)}=\textcolor{cyan}{(全ての分数の和)}-\textcolor{red}{(整数)}}$}\ として求められる. \\\\\\\\
2以上9以下で5を分母とする数は $
これは,\ $\textcolor{cyan}{初項2,\ 末項9,\ 項数45-10+1=36,\ 公差\ \bunsuu15\ の等差数列}である.$
これは,\ $\textcolor{red}{初項2,\ 末項9,\ 項数9-2+1=8,\ 公差1の等差数列}である.$ \
項数を45-10=35個としないように注意する. \\[.2zh] 45-10だけでは10も除かれてしまう.\ 10を含めて45までに何項あるかなので,\ +\,1が必要である. \\[.2zh] なお,\ 2と9を最初から除き,\ \left(\bunsuu{11}{5}\,から\,\bunsuu{44}{5}\,までの和\right)-(3から8までの和)としてもよい.
\$pは素数,\ m,\ nは正の整数でm<nとする.\ mとnの間にあって,\ pを分母とする$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$既約分数の総和Sを求めよ.                    [同志社大]$ \\
$m以上n以下でpを分母とする数は$ \\[.5zh] これは,\ $\textcolor{cyan}{初項m,\ 末項n,\ 項数pn-pm+1,\ 公差\ \bunsuu1p\ の等差数列}である.$ \
これは,\ $\textcolor{red}{初項m,\ 末項n,\ 項数n-m+1,\ 公差1の等差数列}である.$ \
先の問題を一般化した問題である. \\[.2zh] 非常に抽象的なので,\ 先の具体的な問題のイメージがなければ,\ 難易度はかなり高い. \\[.2zh] 逆に,\ 一旦先の問題を経験・理解していれば,\ 文字であっても\bm{完全に同じ要領}で解答できる. \\[.2zh] Sは\bm{因数分解する方向で計算する}と綺麗な形になる. \\[.2zh] pn-pm-n+m=p(n-m)-(n-m)=(n-m)(p-1) \\[.2zh] m=2,\ n=9,\ p=5の場合が先の問題である. \\[.2zh] 実際,\ Sに代入してみると,\ \bunsuu12(2+9)(9-2)(5-1)=154となり一致する. \\\\
先の問題と実質同じなのは,\ \bm{「pは素数」}という条件があるからこそである. \\[.2zh] この条件があれば,\ \bm{分子がpの倍数のときのみ約分できる}ことが保証される. \\[.2zh] 例えば,\ 分母が5の場合,\ \bunsuu{10}{5}(=2),\ \bunsuu{15}{5}(=3),\ \cdots\cdots\ だけが約分できる. \\[.6zh] よって,\ \bm{既約でない分数は必ず整数になる}といえ,\ 後から整数を引けば済む. \\[1zh] しかし,\ もし分母が素数でない場合,\ この考え方は通用しなくなる. \\[.2zh] 例えば,\ 分母が6の場合,\ 約分できるのは\ \bunsuu{12}{6}(=2),\ \bunsuu{18}{6}(=3),\ \cdots\cdots\ だけではない. \\[.6zh] 実際,\ \bunsuu{14}{6},\ \bunsuu{15}{6},\ \bunsuu{16}{6}\ などが約分できてしまう. \\[.6zh] 6=2\cdot3より,\ 分子が2の倍数と3の倍数の場合が全て既約ではなくなるのである.