difference-sum

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次の数列の初項から第n項までの和S_nを求めよ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$(3)\ \ 次の数列の初項から第n項までの和S_nを求めよ.$ \\[.5zh]  \textcolor{red}{\textbf{一般項}$\bm{a_kを階差f(k)-f(k+1)の形に変形できれば,\ 必ず和が求まる.}$} \\[.5zh]  \textbf{問題なのは,\ そもそも「\textcolor{red}{一般項を階差の形にできるか}」である. \\  結局,\ \textcolor[named]{ForestGreen}{うまく階差の形になるものをパターンとして暗記}することになる.} \\\\\\\\  (1)\ 与えられた数列の第$k$項は $\textcolor{cyan}{\bunsuu{1}{(2k+1)(2k+3)}}$ \\\\[.5zh] 分母の左側の数列は 3,\ \ 5,\ \ 7,\ \ \cdots\cdots \\ 初項3,\ 公差2の等差数列であるから,\ 第k項は 3+(k-1)\cdot2=2k+1 \\ 分母の右側の数列は 5,\ \ 7,\ \ 9,\ \ \cdots\cdots \\ 初項5,\ 公差2の等差数列であるから,\ 第k項は 5+(k-1)\cdot2=2k+3 \\[1zh] 第k項を階差の形に分解する.\ これを\bm{部分分数分解}という. \\ 一般にはこの変形はやや面倒だが,\ 数列分野に限っては次の公式を使うと速い. \\ \bm{\bunsuu{1}{AB}=\bunsuu{1}{B-A}\left(\bunsuu1A-\bunsuu1B\right)} \\[1zh] \bm{和を全て書き出すと中央部分の項が消え,\ 初項と末項のみが残る}ので,\ まとめる. Σで表されているが,\ \bm{分母が因数分解できる}から,\ 実質(1)と同じ問題である. \\ 部分分数分解し,\ 和を全て書き出す. \\ このとき,\ (1)とは異なり,\ \bm{中央部分が全て消えるわけではない}ことに注意する. \\ どの項とどの項が対応して消えるのかを注意深く確認しながら考える必要がある. \\ 別解のように考えると間違えることはないだろう. \\[1zh] 分母が3つの因数の積の場合,\ 次の公式で階差の形に変形すると速い. \\