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次の数列の初項から第n項までの和S_nを求めよ.$ \\[.5zh] {階差を利用する和\maru2\ :分数の数列の和(応用)}$}}
分子3,\ 5,\ 7,\ \cdots\ は初項3,\ 公差2の等差数列なので,\ 第k項は\ 3+(k-1)\cdot2=2k+1 \\[.2zh] 第k項の変形が難しいと思うかもしれないが,\ \bm{階差の形に変形}したいと考えると自然である. \\[.2zh] 第k項が階差の形になっていなければ,\ 高校範囲で和を求めるなどできないのである. \\[.2zh] そして,\ 階差の形にするには分母をk^2\,と(k+1)^2\,に分けるしかない. \\[.2zh] \bunsuu{2k+1}{k^2(k+1)^2}=\bunsuu{a}{k^2}-\bunsuu{b}{(k+1)^2}\ として分母を払うと 2k+1=a(k+1)^2-bk^2 \\[1zh] 恒等式の両辺にk=0を代入するとa=1,\ \ k=-\,1を代入するとb=1が求まる. \\[.2zh] 最後検算のためにn=1を代入してみると\,\bunsuu34\,となり,\ 問題で与えられている初項と一致する.
いきなり部分分数分解しようとしてはならない. \\[.2zh] 分数式では,\ 最初に以下の変形をするのが原則であった. \\[.2zh] \bm{(分子の次数)\geqq(分母の次数)のとき,\ (分子の次数)<(分母の次数)に変形する.} \\[.2zh] これは,\ 数列分野や本問に限らず,\ 高校数学全般において成り立つ原則である. \\[.2zh] 具体的には,\ 以下のように分子に分母と同じ形を無理矢理作り出した後,\ つじつまを合わせる. \\[.2zh] 後は部分分数分解すればよい.\ \ 関係式\ \bm{\bunsuu{1}{AB}=\bunsuu{1}{B-A}\left(\bunsuu1A-\bunsuu1B\right)}の利用が有効であった.
分子が等比数列のようになっている本問の型は,\ 初見だと手こずるだろう. \\[.2zh] とりあえず2^k\,を無視し,\ \bunsuu{1-k}{k(k+1)}=\bunsuu{a}{k}-\bunsuu{b}{k+1}\ として分解してみる. \\[1zh] 分母を払うと\ \ 1-k=a(k+1)-bk  k=0としてa=1,\ \ k=-\,1としてb=2を得る. \\[.2zh] つまり,\ \bunsuu{1-k}{k(k+1)}=\bunsuu{1}{k}-\bunsuu{2}{k+1}\ である. \\[1zh] この両辺に2^k\,を掛けると\ \bunsuu{2^k(1-k)}{k(k+1)}=\bunsuu{2^k}{k}-\bunsuu{2^{k+1}}{k+1}\ となり,\ これは階差の形である. \\[1zh] 最後は通分してもしなくてもよいだろう.