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奇数列を\ 1\ |\ 3,\ \ 5\ |\ 7,\ \ 9,\ \ 11\ |\ 13,\ \ \cdots\cdots\ のような群に分ける.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} $(1)\ \ 第20群の10番目の項を求めよ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw} $(2)\ \ 819は第何群の何番目の数か.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw} $(3)\ \ 第n群に含まれる数の総和Sを求めよ.$ \\
群数列に苦手意識をもつ学生は多い. \\[.2zh] しかし,\ 一旦構造を理解して対処法を学べば,\ 群数列など全く恐るるに足らない. \\[1zh] 群数列は,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{究極的には次の2つのいずれかに帰着}}する. \\[.5zh] \textbf{「\textcolor{cyan}{第何群の何番目か}」から,\ 「\textcolor{magenta}{最初から何番目か}」を求める. \\[.2zh] 「\textcolor{magenta}{最初から何番目か}」から,\ 「\textcolor{cyan}{第何群の何番目か}」を求める.} \\\\
もう一度言おう.\ 群数列の問題は,\ 結局はこの2つのうちのいずれかでしかない. \\[.2zh] よって,\ 群数列の問題が解けるか否かは,\ この2つを自在に行えるかで決まる. \\[.2zh] 実は,\ 一番最初にたった1つの計算をしておくだけで,\ いずれも可能になる. \\[1zh] \centerline{\textbf{\textcolor{red}{「各群の\underline{項数の数列}」を調べ,\ 「第$\bm{n}$群の終わりまでの\underline{項数の和}」を求めておく.}}} \\[1zh] 後は実際の問題で確認してほしい. \\\\\\\\
各群の項数は,\ $1個,\ 2個,\ 3個,\ \cdots\cdots\ である.$ \\[.5zh] \textcolor{red}{第1群から第$n$群の終わりまでにある項数}は \\[.5zh] 本問は,\ \bm{規則正しい数列を無理矢理群に分けた群数列}なので,\ 元の数列の規則性が重要になる. \\[.2zh] 初項1,\ 公差2の等差数列であるから,\ 第k項は 1+(k-1)\cdot2=2k-1 \\[1zh] 後は,\ \bm{「\textcolor{cyan}{第20群の10番目}」が「\textcolor{magenta}{最初から何番目か}」}がわかれば求まる. \\[.2zh] ここで,\ 一番最初に求めておいた第n群の終わりまでの項数の和を利用できるのである.
\phantom{ (1)}\ \ よって,\ $819は「\textcolor{magenta}{最初から410番目の数}」である.$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ ここで,\ $第1群から第28群の終わりまでにある項数は$
\phantom{ (1)}\ \ また,\ $第1群から第29群の終わりまでにある項数は$ \\[.2zh] 819が\bm{「\textcolor{magenta}{最初から何番目か}」}は,\ (1)で求めたa_k=2k-1を利用すると簡単に求まる. \\[.2zh] これが\bm{「\textcolor{cyan}{第何群の何番目}」}を求めればよい. \\[.2zh] このとき,\ 一番最初に求めておいた第n群の終わりまでの項数の和\ \bunsuu12n(n+1)\ を再び利用できる. \\[1zh] ただし,\ \bunsuu12n(n+1)=410\ を解こうとしても,\ 大概は計算や後処理が面倒になる. \\[.8zh] そこで,\ nが整数であることを利用するとよい. \\[.2zh] つまり,\ \bm{nに整数を適当に代入}し,\ 410になる付近を探索する. \\[.2zh] n^2+2n=820\ より,\ おおよそ\ n^2=800\ となればよい. \\[.2zh] よって,\ n=30,\ あるいはそれより少し小さい数を代入していく. \
第1群から第28群の終わりまでに406個,\ 第29群の終わりまでに435個の項があるとわかる. \\[.2zh] よって,\ 最初から410番目は,\ 第29群の410-406=4番目である.
等差数列の和の公式S=\bunsuu12n\{2a+(n-1)d\}\,を使うためには,\ 初項・公差・項数が必要である. \\[.8zh] 公差は自明,\ 第n群の項数がn個であることもすぐにわかる. \\[1zh] 問題は初項である.\ まず,\ \bm{「\textcolor{cyan}{第n群の初項}」が「\textcolor{magenta}{最初から何番目か}」}を求める. \\[.2zh] これは,\ \bm{(第n群の1番目)=(第n-1群の終わりまでの項数)+1}\ として求まる. \\[.2zh] 第n-1群を考えるとき,\ n-1\geqq1,\ つまり\ \bm{n\geqq2}\ として考えなければならない. \\[.2zh] 第n群までの項数\ \bunsuu12n(n+1)\ より,\ 第n-1群までの項数は\ \bunsuu12(n-1)n\ である. \\[.8zh] 最初から何番目かが求まれば,\ a_k=2k-1\ に代入して,\ 第n群の初項が求まる. \\[.2zh] \bm{試しにn=1を代入}してみると,\ 実際の第1群の初項と一致する. \\[.2zh] 結局,\ n=1のときもまとめて考えてよく,\ 後は等差数列の和の公式を適用する.
既約分数の数列$\ \bunsuu12,\ \bunsuu14,\ \bunsuu34,\ \bunsuu18,\ \bunsuu38,\ \bunsuu58,\ \bunsuu78,\ \bunsuu{1}{16},\ \cdots\cdots\ がある.$ \\[1.5zh] \hspace{.5zw} $(1)\ \ \bunsuu{57}{512}\ は最初から何番目の項か.$ \\[1zh] \hspace{.5zw} $(2)\ \ 最初から1000番目の項は何か.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw} $(3)\ \ 初項から第1000項までの和Sを求めよ.$          $[岩手大・改]$
本問は,\ \bm{群の中で規則性がある型}である.\ この場合,\ \bm{自分で群に区切る}ことになる. \\[.2zh] また,\ 項数の和は等比数列の和であるから,\ 公式S=\bunsuu{a(r^n-1)}{r-1}\ によって求められる. \\[1zh] まず,\ \bunsuu{57}{512}\ が\bm{「\textcolor{cyan}{第何群の何番目か}」}を求めることができる. \\[.8zh] 分母の規則から第9群であることが,\ 分子の規則から29番目であることがわかる. \\[.2zh] これが\bm{「\textcolor{magenta}{最初から何番目か}」}を求めればよい.
(2)\ \ $第1群から第9群の終わりまでにある項数は
\phantom{ (1)}\ \ また,\ $第1群から第10群の終わりまでにある項数は$ \\[.2zh] 本問は群の中に規則性があるので,\ \bm{「\textcolor{magenta}{最初から1000番目}」が「\textcolor{cyan}{第何群の何番目か}」を考える.} \\[1zh] 第n群までの項数\ 2^n-1\ を再び利用する. \\[.2zh] nは整数なので,\ \bm{適当に代入して1000番目になる付近を探索する.} \\[.2zh] 2の累乗の値を暗記していると容易である. \\[.2zh] 特に,\ 2^{10}=1024\kinzi1000\ は利用できる機会が多いので覚えておきたい. \\[.2zh] 後は,\ 群の中の規則から項の値を求めればよい.
(3)\ \ $第n群は,\ \textcolor{red}{分母2^n,\ 分子が初項1,\ 公差2の等差数列,\ 項数2^{n-1}}\,である.$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ $第n群に含まれる分数の和は$ \\[.5zh] まず,\ \bm{第n群に含まれる分数の和}を求める. \\[.2zh] 分母分子は判明済み,\ 項数は\ 1,\ 2,\ 4\ \cdots\ より,\ 2^{n-1}\ である. \\[.2zh] 通分できるから,\ 結局は分子の和を考えればよい. \\[.2zh] 公式を用いて,\ \bm{初項1,\ 公差2,\ 項数2^{n-1}の等差数列の和}を求める. \\[1zh] (2)で第1000項が第10群の489番目であることは判明している. \\[.2zh] 第n群の和が2^{n-2}\,であるから,\ 第9群まではこの和をとれば一気に求まる. \\[.2zh] 等比数列の和なので,\ 公式を用いて求められる. \\[1zh] 第10群は途中までであるから,\ 2^{n-2}\,は使えず,\ 別個に求める. \\[.2zh] 公式を用いて,\ \bm{初項1,\ 公差2,\ 項数489の等差数列の和}を求めればよい.