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奇数列を\ 1\ |\ 3,\ \ 5\ |\ 7,\ \ 9,\ \ 11\ |\ 13,\ \ \cdots\cdots\ のような群に分ける.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw} $(1)\ \ 第20群の10番目の項を求めよ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw} $(2)\ \ 819は第何群の何番目の数か.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw} $(3)\ \ 第n群に含まれる数の総和Sを求めよ.$ \\  群数列は,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{究極的には次の2つのいずれかに帰着}}する. \\[.5zh]    \textbf{「\textcolor{cyan}{第何群の何番目か}」から,\ 「\textcolor{magenta}{最初から何番目か}」を求める. \\[.2zh]    「\textcolor{magenta}{最初から何番目か}」から,\ 「\textcolor{cyan}{第何群の何番目か}」を求める.} \\\\  群数列の問題が解けるかは,\ この2つを自在に行えるかにかかってくる. \\  これさえできれば,\ 後は群など関係のない普通の数列の問題になる. \\  実は,\ 最初にたった1つ,\ 次をしておくだけで,\ いずれも可能になる. \\[.5zh]  \textbf{\textcolor{red}{「各群の\underline{項数の数列}」を調べ,\ 「第$\bm{n}$群までの\underline{項数の和}」を求める.}} \\\\\\\\   各群の項数は,\ $1個,\ 2個,\ 3個,\ \cdots\cdots\ である.$ \\[.5zh]   \textcolor{red}{第1群から第$n$群までにある項数}は \\[.2zh]  (1)\ 元の奇数列\ $1,\ 3,\ 5,\ \cdots\cdots$を$\suuretu{a_n}とする.$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ $(\textcolor{cyan}{第20群の10番目})=(\textcolor{red}{第1群から第19群までにある項数})+10$ \\[.2zh] 本問は,\ \bm{規則正しい数列を無理矢理群に分けた群数列}である. \\ よって,\ 元の数列の規則性が重要である. \\ 初項1,\ 公差2の等差数列であるから,\ 第k項は 1+(k-1)\cdot2=2k-1 \\ 後は,\ \bm{「\textcolor{cyan}{第20群の10番目}」が,\ 「\textcolor{magenta}{最初から何番目か}」}がわかれば求まる. \\ ここで,\ 一番最初に求めておいた第n群までの項数の和が役立つのである. k=410$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ よって,\ $819は「\textcolor{magenta}{最初から410番目の数}」である.$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ ここで,\ $第1群から第28群までにある項数は$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ また,\ $第1群から第29群までにある項数は$ \\[.2zh] \centerline{$\therefore\ $ 819は,\ \textbf{「\textcolor{cyan}{第29群の4番目}」}である.}\ 819が\bm{「\textcolor{magenta}{最初から何番目か}」}は簡単に求まる. \\ これが,\ \bm{「\textcolor{cyan}{第何群の何番目}」}を求めればよい. \\ ここで,\ 最初に求めておいた第n群までの項数の和\ \bunsuu12n(n+1)\ が再び役立つ. \\[1zh] nは整数であるから,\ \bunsuu12n(n+1)=410\ を解こうとするのは無理がある. \\ \bm{nに整数を適当に代入}し,\ 410になる付近を探索する. \\ n^2+2n=820\ より,\ おおよそ\ n^2=800\ となればよい. \\ よって,\ n=30,\ あるいはそれより少し小さい数を代入していく. \\ 第1群から第28群までに406個,\ 第29群までに435個の項があることがわかる. \\ よって,\ 最初から410番目は,\ 第29群の410-406=4番目である. 第n-1群までにある項数は \textcolor{red}{\bunsuu12(n-1)n}$ \\[.2zh] 第n群の最初の数}は,\ \left\{\textcolor{magenta}{\bunsuu12(n-1)n+1}\right\}番目の数である.$ \\[.5zh] \phantom{ (2)}\ $第n群の最初の数は \phantom{ (2)}\ よって,\ $第n群は,\ \textcolor{red}{初項n^2-n+1,\ 公差2,\ 項数nの等差数列}である 等差数列の和の公式を使うためには,\ 初項・公差・項数が必要である. \\ 公差はほぼ自明,\ 第n群の項数がn個であることもすぐわかる. \\[1zh] 問題は初項である.\ まず,\ \bm{「\textcolor{cyan}{第n群の初項}」が「\textcolor{magenta}{最初から何番目か}」}を求める. \\ これは,\ \bm{(第n群の1番目)=(第n-1群までにある項数)+1}\ として求まる. \\ 第n-1群を考えるとき,\ n-1\geqq1,\ つまり\ \bm{n\geqq2}\ として考えなければならない. \\ 第n群までの項数\ \bunsuu12n(n+1)\ より,\ 第n-1群までの項数は\ \bunsuu12(n-1)n\ である. \\ 最初から何番目かが求まれば,\ a_k=2k-1\ に代入して,\ 第n群の初項が求まる. \\ \bm{試しにn=1を代入}してみると,\ 実際の第1群の初項と一致する. \\ 結局,\ n=1のときもまとめて考えてよく,\ 後は等差数列の和の公式を適用する. \hspace{.5zw}既約分数の数列 \hspace{.5zw} $(1)\ \ \bunsuu{57}{512}\ は最初から何番目の項か.$ \\[1zh] \hspace{.5zw} $(2)\ \ 最初から1000番目の項は何か.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw} $(3)\ \ 初項から第1000項までの和Sを求めよ.$    {\normalsize $[岩手大・改]$} \\   各群の項数は,\ $1個,\ 2個,\ 4個,\ 8個,\ \cdots\cdots\ である.$ \\[.5zh]   \textcolor{red}{第1群から第$n$群までにある項数}は \\[.2zh]  (1)\ 第$n群の分母は2^nであるから,\ 2^n=512\ とすると \textcolor{cyan}{n=9}$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ 第$n群のk番目の項の分子は 2k-1$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ よって $2k-1=57\ とすると  \textcolor{cyan}{k=29}$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ ゆえに $\bunsuu{57}{512}$\ は「\textcolor{cyan}{第9群の29番目}」である. \\\\ \phantom{ (1)}\ $(\textcolor{cyan}{第9群の29番目})=(\textcolor{red}{第1群から第8群までにある項数})+29 本問は,\ \bm{群の中で規則性がある型}である.\ この場合,\ \bm{自分で群に区切る}ことになる. \\ また,\ 項数の和を求めておく(等比数列の和). \\[1zh] まず,\ \bunsuu{57}{512}\ が\bm{「\textcolor{cyan}{第何群の何番目か}」}を求める. \\ 分母の規則から第9群であることが,\ 分子の規則から29番目であることがわかる. \\ これが\bm{「\textcolor{magenta}{最初から何番目か}」}を求めればよい.  (2)\ $第1群から第9群までにある項数は$ \\[.2zh] また,\ $第1群から第10群までにある項数は$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ よって,\ $\textcolor{magenta}{1000番目}の項は,\ 「\textcolor{cyan}{第10群の1000-511=489番目}」$である.\\\\ 第10群の分母は  489番目の分子は 本問は,\ 群の中に規則性があった. \\ よって,\ \bm{「\textcolor{magenta}{最初から1000番目}」が「\textcolor{cyan}{第何群の何番目か}」を考える.} \\[1zh] 第n群までの項数\ 2^n-1\ を再び利用する. \\ nは整数なので,\ \bm{適当に代入し,\ 1000番目になる付近を探索する.} \\ 2の累乗の値を暗記していれば容易に見つかる. \\ 特に,\ 2^{10}=1024\kinzi1000\ はたびたび使うので覚えておきたい. \\ 後は,\ 群の中の規則から,\ 項の値を求めればよい.  (3)\ $第n群は,\ \textcolor{red}{分母2^n,\ 分子が初項1,\ 公差2の等差数列,\ 項数2^{n-1}}である.$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ $第n群に含まれる分数の和は$ \\[.5zh] まず,\ \bm{第n群に含まれる分数の和}を求める. \\ 分母分子は判明済み,\ 項数は\ 1,\ 2,\ 4\ \cdots\ より,\ 2^{n-1}\ である. \\ 通分できるから,\ 結局は分子の和を考えればよい. \\ \bm{初項1,\ 公差2,\ 項数2^{n-1}の等差数列の和}を公式で求める. \\[1zh] (2)で第1000項が第10群の489番目であることは判明している. \\ 第n群の和が2^{n-2}であるから,\ 第9群まではこの和をとれば一気に求まる. \\[1zh] 第10群は途中までであるから,\ 2^{n-2}は使えず,\ 独自に求める. \\ \bm{初項1,\ 公差2,\ 項数489の等差数列の和}を公式で求めればよい.