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100から200までの整数のうち,\ 3の倍数または4の倍数の和を求めよ.$ \\
{倍数の和}$}}}} \\\\[.5zh] \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{倍数は等間隔で存在する}}から,\ 結局は\textbf{\textcolor{blue}{等差数列の和}}である. \\\\[1zh] 3の倍数の和をS_{(3)}},\ \textcolor{cyan}{4の倍数の和をS_{(4)}},\ \textcolor{red}{12の倍数の和をS_{(12)}}\ とする.$ \\[1zh] (3の倍数または4の倍数)=(3の倍数)+(4の倍数)\ とするのは\bm{誤り}である. \\[.2zh] (3の倍数かつ4の倍数)の分が重複するので,\ その分を引く必要がある. \\[.2zh] なお,\ \bm{(3の倍数かつ4の倍数)はその最小公倍数12の倍数}である. \\[.2zh] 結局,\ \bm{(3の倍数または4の倍数)=(3の倍数)+(4の倍数)-(12の倍数)}\ とすることになる. \\[.2zh] ベン図で視覚的にとらえるとわかりやすいだろう. \\[.2zh] 後は,\ 各倍数ごとに初項aと末項lと項数nを求め,\ 公式S=\bunsuu12n(a+l)で和を求めればよい. \\\\
100\div3=33\cdots1より,\ 100までに3の倍数は33個あるとわかる. \\[.2zh] 逆に言えば,\ 100より大きい3の倍数は34個目からである.\ 3\cdot34=102であり,\ これが初項となる. \\[.2zh] 200\div3=66\cdots2から200までに3の倍数は66個あるとわかり,\ 3\cdot66=198が末項となる. \\[.2zh] 3の倍数の個数を考えるとき,\ 66-34=32\ としてはいけない. \\[.2zh] 34個目から66個目までが何個かを数えるわけだが,\ -\,34とすると34個目も除外される. \\[.2zh] よって,\ +\,1が必要になる.\ 33個目までを引くと考え,\ 直接66-33=33\ と求めてもよい. \\[.2zh] 混乱したときは,\ \bm{小さい数字で具体的に考える}とよい. \\[.2zh] 例えば,\ 3個目から7個目は7-3=4個ではない.\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7の5個である.