対数logabの近似値求め方(評価の方法)

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$\log_{10}2\ の値の小数第1位を求めよ.$ \\ {対数\ $\log_ab}$\ の近似値の求め方(評価の方法)  先に一般化したものを示しておく.  $[1]$\ \ $a^p>b^q\ となる\dot{適}\dot{切}\dot{な}\ (p,\ q)を探し,\ 両辺のaを底とする対数をとる.$   \ \ \  $a^p>b^q\ の両辺のaを底とする対数をとると p>q\log_ab  ∴\ pq>\log_ab$  $[2]$\ \ $a^r2^3}\ に対して,\ 両辺の10を底とする対数をとると$          \ \ $1>3\log_{10}2 より \log_{10}2<13$   $10^3<2^{10\ に対して,\ 両辺の10を底とする対数をとると$ log_{10}2\ の小数第1位は 3}$} 最低でも小数第1位までが特定できる精度の評価が必要である. 一般化した評価を元に,\ どうすれば精度の高い評価ができるかを考える. まず,\ \log_ab< pq\,において,\ pq\,が小さい}ほど精度が高くなる. pが小さく,\ qが大きいほど\, pq\,が小さくなるから,\ a^p\,が小さくb^q\,が大きい}ほど精度が高くなる. 同様に,\ rs<\log_ab\,において,\ rs\,が大きい}ほどより精度が高くなる. rが大きく,\ sが小さいほど\, rs\,が大きくなるから,\ a^r\,が大きくb^s\,が小さい}ほど精度が高くなる. まず,\ 10^p>2^q\,となる(p,\ q)のうち,\ できる限りpが小さく,\ qが大きいものを考える. 10^1>2^3\ (=8)\ より,\ \log_{10}2< pq=13=0.33・・・\ がわかる. 同様に,\ 10^r<2^sとなる(r,\ s)のうち,\ できる限りrが大きく,\ sが小さいものを考える. 10^1<2^4\ (=16)\ ならば  rs=14=0.25<\log_{10}2 この時点で小数第1位が2か3であるとわかるが,\ 特定はできないのでさらに先を考える. 10^2<2^7\ (=128)\ ならば  rs=27=0.28・・・<\log_{10}2 10^3<2^{10}\ (=1024)\ ならば  rs=3}{10}=0.3<\log_{10}2   これを解答に採用すればよい. なお,\ 2^{10}=1024≒ 10^3\,であることは暗記推奨である. また,\ \log_{10}2≒0.3010を「おっさん冷凍」で覚えておくとよい.\ 常用対数の問題でよく扱う.