対数方程式2パターン

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対数方程式には2大パターンがあるが,\ どちらにせよ,\ 最初に以下を行う.   真数条件($真数>0}$)と底の条件($底>0,\ 底≠1}$)を確認する.   ②\ \ 異なる底の対数が混在する場合,\ 底の変換公式を用いて底を統一する.  その後は,\ 以下の2大パターンのいずれかである.   [1]\ \ 両辺を1つの対数にまとめ,\ $\log_aX=\log_aY\ ⇔\ X=Y\ を使う.$   [2]\ \ $\log_ax=X\ と置換すると,\ 簡単な方程式に帰着する.$ 真数>0}より x-2>0\ \ かつ\ \ x-3>0   よって\ \ とにかく最初に真数条件を確認}する.\ その後,\ 両辺をそれぞれ1つの対数にまとめる. 左辺は対数の性質\ \log_aM+\log_aN=\log_aMN}\ を適用する. 右辺は1を逆に底2の対数で表すと,\ 1=\log_22である. 右辺を\log_21とする誤り}が多いので注意!\ \log をつけることと\log の形にすることは別である. 右辺にだけ勝手に\log をつけていいはずはなく,\ 1を\log の形に変形するのである. 後は\log をはずして方程式を解き,\ 真数条件を満たすものを最終的な答えとする. 1つの対数にまとめる前に\log をはずして(x-2)+(x-3)=2とする誤り}が多いので注意! また,\ 「\,\log_2(x-2)(x-3)=\log_22より,\ 真数条件は(x-2)(x-3)>0\,」とする誤り}も多い. 本問の場合,\ もし真数条件がx<2,\ 30,\ N>0)が成り立つことを前提とした法則}である. よって,\ 真数条件の確認は対数の性質の適用前に行わなければならない}のである. 真数>0}\ より x+2>0\ \ かつ\ \ x^2-x-2>0$ 底の変換公式より ゆえに {真数条件を満たす})$ 最初に真数条件を確認}する さらに,\ 底を2に統一する.\ \log_214=-\,2である. このまま対数の性質\log_aM-\log_aN=\log_a MN,\ \ r\log_aM=\log_aM^r\,で左辺をまとめてみる. \ 分数係数や負の項がある場合,\ 無理にまとめると根号や分数が現れて複雑になる. そこで,\ 分母をはらい,\ さらに負の項を移項により正の項にしてからまとめる}のがよい. 真数>0}\ より真数条件と底の条件}を満たすのは\ 真数条件はもちろん,\ 底にxがあるので底の条件も確認する必要がある. 真数条件は3次不等式となるが,\ 因数分解できないので事実上高校範囲で解くことはできない. このため,\ 「真数条件を求めることができない」と考えて行き詰まる学生が多い. しかし,\ 本問に限らず,\ 対数方程式では真数条件をxについて解く必要がそもそもない.} (2)では真数条件をわざわざ-20とx^2-x-2>0に代入してみることでも確認できる. 教科書や問題集では真数条件がxについて解いてあることが多いが,\ 実はその必要はないのである. 左辺に合わせて右辺を\log_{x-1}の形にする. 底にxがあると途端に\log に変換できなくなる人が多いが,\ 3=\log_22^3=\log_28と同様である. 最後,\ x=0,\ 3のうち真数条件と底の条件を満たすものを最終的な答えとする. f(x)=x^3-2x^2-1とおくと,\ f(0)=-\,1<0,\ f(3)=8>0より,\ x=3だけが真数条件を満たす. 真数>0}\ より\ 最初に真数条件と底の条件を確認する}. 底を2に統一すると,\ \log_24x-6}{\log_2x}=1となる. 両辺をそれぞれ1つの\log の形\,\log_aX=\log_aY\ に変形することはできそうにない. そこで,\ \log_axを置換する型に持ち込む}ことを考える. そのためには,\ \log_aMN=\log_aM+\log_aNを用いて\log_4xを分解すればよい. さらに分母をはらうと,\ \log_2xが置換できる形になる. \log_2x=XとおいてX^2+X-6=0としてもよいが,\ この程度ならば置換せずにやると速い. 常にa^x=X>0だったのとは異なり,\ \log_ax=Xは全ての実数値をとりうる.} 真数>0}より {x>0}$のとき$2^{x^2\log_8x}>0,\ \ x√ x>0$であるから,\ $両辺の2を底とする対数}をとる. 対数があるのでまずは真数条件を確認}する. 本問に限らず,\ 指数部分が鬱陶しい場合,\ 両辺の対数をとる}ことが基本になる. 対数の性質\log_aM^r=r\log_aMにより,\ 鬱陶しい指数を前に出せるようになるからである. ただし,\ 真数になる各辺が正であることを確認した上で対数をとる}必要があることに注意する. 本問の場合,\ 真数条件からx>0で,\ このとき左辺も右辺も正となる. 底はできる限り小さい素数にするのが基本で,\ 与式に2,\ 8があるので2を底とする対数をとった. \ 置換するまでもないが,\ \log_2x=Xとすると\ 13x^2X=32X\ となる. ここで,\ 安易に両辺を\log_2xで割ってはならない.\ \log_2x=0の可能性があるからである. 一方の辺に集めて因数分解するとAB=0の形になるので,\ A=0\ または\ B=0とできる.