digit-number

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累乗数の一の位の数字は必ず循環する}}から,\ \bm{\textcolor{blue}{一の位}}は簡単に求まる.\ $ \\ $ 8に8を掛けていくと一の位の数字は 8,\ 4,\ 2,\ 6,\ |\ 8,\ 4,\ 2,\ 6,\ |\ 8,\ \cdots$ \\ $ 44は4の倍数であるから,\ 8^{44}は1周期の最後に位置するはずである.$ \\[.5zh] \centerline{$\therefore\ \bm{一の位の数字は 6}$} \\\\\\ $ 次に,\ \bm{\textcolor{blue}{桁数}}を求めるために少し実験してみる.\ 数を1から並べると$ \\[.5zh] $ \textcolor{cyan}{\underline{\textcolor{black}{桁数は,\ 10^2になった瞬間3桁に,\ 10^3になった瞬間4桁に増える.}}}$ \\ 例えば10^{2.864}は3桁である.$ \\ $ 結局,\ \bm{\textcolor{red}{桁数を求めることは,\ その数が10の何乗かを求めることに帰着する.}}$ \\ $ では,\ ある累乗数Nが10の何乗かをどうやって求めるのか.$ \\ $ よって p=\log_{10}Nを求めると,\ Nを10^pの形に表せることになる.$ \\\\ $ さて,\ 8^{44}が10の何乗かを求めよう.$ \\ $ 10^{39.732}を10の累乗で挟み込むと $ \bm{\textcolor{blue}{最高位の数字}}を求める.\ まず,\ \bm{指数を\textcolor{red}{小数部分}と\textcolor{cyan}{整数部分}に分割しよう.}$ \\[.5zh] $ 10^{\textcolor{cyan}{39}}は桁数を表していた(40桁).\ 実は,\ \bm{10^{\textcolor{red}{0.732}}が最高位の数字を含んでいる.}$ \\ $ 例えば,\ 8.29\times10^{\textcolor{cyan}{2}}\ (=829)は,\ 3桁で最高位が8の数字である.$ \\ $ 結局,\ \bm{\textcolor{red}{10^{0.732}の大体の値を求めることに帰着する}}わけだが,\ どうするか.$ \\\\ $ \log_{10}2=0.3010を指数で表現すると,\ 10^{0.3010}=2}となることを利用しよう.$ \\   \therefore\ \bm{最高位の数字は 5} \log_{10}2と\log_{10}3の値だけで,\ \log_{10}7以外の1桁の常用対数が求まる. \\ 特に\textcolor{magenta}{\log_{10}5の求め方は盲点}となるので確認しておこう.