symmetrical-expression

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重要な$xとy$の対称式の変形としては次の2つがあった. \\[.5zh] x^2+y^2=(x+y)^2-2xy \\ x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)  ここで,\ $x=a^r,\ y=a^{-r}\ としてみよう.$ \\  特に着目すべきは,\ $\bm{常に\ xy=\textcolor{magenta}{a^ra^{-r}}=a^{r-r}=a^0=\textcolor{magenta}{1}}\ である.$ \\[.5zh]  ゆえに,\ \textcolor{cyan}{a^{2r}+a^{-2r}}=\textcolor{red}{(a^r+a^{-r})^2-2} \\ \textcolor{cyan}{a^{3r}+a^{-3r}}=\textcolor{red}{(a^r+a^{-r})^3-3(a^r+a^{-r})}  結局,\ $\bm{\textcolor{blue}{a^{nr}+a^{-nr}}\ は,\ \textcolor{red}{a^r+a^{-r}\ のみで表される}}のである.$ \\\\\\ (1),\ (2)は,\ 基本的な対称式の変形を行えばよい. \\ (3)は,\ 2乗すると(1)の形が出てくることに着目して変形していけばよい. \\ a+a^{-1}=(a^{\frac12}+a^{-\frac12})^2-2\ のように考えてもよい. \\ 2乗を外すときは,\ 正であることを明記すること. \\ \bm{常により,\ 常にa}である.