余弦定理のベクトル表示と内積の定義の成分表示の証明

OABにおいて,\ OA=5,\ OB=6,\ AB=7}とする.$
$OA}=a,\ OB}=b\ とするとき,\ ab\ の値を求めよ.$
余弦定理のベクトル表示と内積の定義の成分表示
$[l}
要は,\ 「3辺の長さから内積を求めよ」という問題である.
内積の定義は\ ab=a}b}cosθ\ で\ a},\ b}は既知より,\ 実質的に\ {cosθ\ を求める問題である.
本問が初見のほとんどの学生は,\ 余弦定理と内積の定義の利用しか思い浮かばないだろう.
しかし,\ 上で示した解答が本問の正攻法である.
後は,\ {大きさb-a}を2乗すると内積が表れる}ことを利用して求める.
本解の発想の根幹を以下で説明する.
}]$}
$$OABに余弦定理を適用すると
${AB²=OA²+OB²-2OA OB cosθ}$
これをベクトルでの表現に変換すると
$b-a}²$を展開しただけに見えるこの式は,\ 実は「余弦定理」そのものなのである.
余弦定理を経由せずベクトルのみで完結する本解がいかにスマートなのかがわかる.
左辺を展開した後に整理すると $a}b}cosθ=a₁b₁+a₂b₂$
すなわち,\ 内積の成分表示\ ${ab=a₁b₁+a₂b₂$\ が導かれる.
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