三角形の面積のベクトル表示・成分表示とその証明

点Oを原点とする.\ $OA}=a=(a₁,\ a₂),\ OB}=b=(b₁,\ b₂)$,\ $$OABの面積を$S$と a₁b₂-a₂b₁}$であることを示せ.
三角比による三角形の面積の公式{S=12absinθが元になる.}
これを,\ {sinθ\ →\ cosθ\ →\ 内積の定義}という流れでベクトルで表し,\ 整理すればよい.
sin²θ+cos²θ=1より本来sinθ={1-cos²θ}\ だが,\ sinθ>0より\ sinθ={1-cos²θ}\ である.
内積の定義を適用し,\ 通分すると結局約分できる.
さらに,\ 成分表示にした後に整理する.
{S=0とすると,\ a₁b₂-a₂b₁=0(平行条件b=kaの成分表示)}となる.
これは,\ {「2つのベクトルa,\ bが平行ならば面積は0になる」}という当たり前のことを意味する.
高校数学で最も鬱陶しい公式の1つだが,\ 以下の三角形の面積の公式は要暗記である
Aが原点となるよう3点を平行移動}すると\
{座標平面上の3点が与えられたときの面積は,\ 成分表示の公式で求めるのが最速}である.
しかし,\ 三角形の面積の成分表示の公式は,\ 3点のうち1点が原点でなければ使えない.
3点がいずれも原点でない場合,\ {1点が原点にくるように3点を平行移動}してから適用する.
本問の場合,\ 点{A}が原点にくるように平行移動すると,\ x方向に-2するだけで済む.
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