加重重心(裏技)による点Pの位置問題と交点の位置ベクトル問題

以前$aPA}+bPB}+cPC}=0\ $を満たすPの位置を求める問題を扱った.
文字のまま解くことで,\ 一般化・裏技化が可能である.
BやCを始点として,\ 同様の計算を行うと,\ 次が求まる.
線分CAを}$a:cに内分する点を{E\ とするとき BP}={c+a}{a+b+c}BE$
線分ABを}$b:aに内分する点を{F\ とするとき CP}={a+b}{a+b+c}CF$
これらを同一の図で考えると,\ 結局Pは下図のような比となる位置にある
ここで,\ 係数を頂点に,\ 係数の和を内分点の横に書き入れると下図となる.
この図の意味を物理的な観点からとらえよう.
三角形ABCの各頂点におもりを置いたときの重心の位置を考える.
おもりの質量が全て等しいとき,\ $g={a+b+c}{3}$\ を満たす位置が重心である.
これは,\ 中線を$2:1$に内分する点であった.
さて,\ 頂点A,\ B,\ Cにそれぞれ${a}$[g],\ ${b}$[g],\ ${c}$[g]のおもりを置くとしよう.
このとき,\ 重心は上図のPの位置にくる.\ このPを加重重心という.
物理的には,\ モーメントのつりあいから以下のように求めることができる.
まず,\ Bにある${b}$[g]のおもりとCにある${c}$[g]のおもりの重心を考える.
重心は,\ 線分BCを${c:b}$\ (逆比)に内分する位置Dである.
よって,\ Dの位置に${(b+c)}$[g]のおもりがあるとみなすことができる.
.96}{次に,\ Aにある${a}$[g]のおもりとDにある${(b+c)}$[g]のおもりの重心を考える.}
重心は,\ 線分ADを${(b+c):a}$\ (逆比)に内分する位置Pとなる.
結局,\ Pの位置に${(a+b+c)}$[g]のおもりがあるとみなすことができる.
加重重心の考え方を用いると,\ 以前学習した2つの超頻出パターン問題があっさりと解ける. \ を満たす ABCと点Pがある.}$
 点Pはどのような位置にあるか.
 ${ PBC,\ PCA,\ PAB}\ の面積比を求めよ.$
次の手順で加重重心の図を書いてしまえば,\ もも容易に解答できる.
頂点A,\ B,\ Cの位置に,\ それぞれ係数(重み)の6,\ 4,\ 5を書く.
重みの逆比に内分する点をD,\ E,\ Fをとし,\ 重みの和を書く.
各頂点とD,\ E,\ Fを結んだ線分の交点をPとし,\ 重みの逆比を書き込む. \
$点Pは,\ 線分BCを5:4に内分する点をD}とするとき,}$
{ }$線分ADを{3:2}に内分する位置にある.$
{ }当然,\ BやCを基準点としてもよく,\ Bを基準点とした例が次である.
{ }$点Pは,\ 線分ACを5:6に内分する点をE}とするとき,}$
{ }$線分BEを{11:4}に内分する位置にある.$
${ABC}=Sとする.$
次の手順で加重重心の図を書いてしまえば,\ もも容易に解答できる.
ACとBDを等しくする}ために,\ $OC:CA=3:2=6:4$とする.
比から逆に,\ 頂点O,\ A,\ Bにかかる重みが4,\ 6,\ 3であることがわかる.
頂点にかかる重みを元に,\ 全ての比を書き込む.}
線分ACとBD}の比がいずれも頂点O}にかかる重みに対応する.
よって,\ 最初にACとBD}の比をそろえることになる.\ 後は自動的に決まる.
ここでは求めやすいOQ}を求めた後,\ OP}を求めた.
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