ベクトルの急所!「位置ベクトル」の概念と内分点・外分点・中点・重心の位置ベクトル

座標平面上の図形は,\ 数学的には「点の集合」である.
よって,\ 図形をベクトルで扱うには「点」をベクトルで扱う必要がある.
位置ベクトルという概念により,\ 点をベクトルで扱うことが可能になる.
直交座標平面では,\ A(1,\ 2)のように点を表してきた.
原点(0,\ 0)を基準とした{絶}{対}{的}な位置(座標)を示すものである.
座標は家の住所のようなもので,\ どの位置から見ても変わらない.
これに対し,\ 点をある点からの{相}{対}{的}な位置としてとらえることもできる.
たとえば,\ 家の位置ならば「○駅から東に200m」などといった表現ができる.
つまり,\ 基準点からの方向と距離で位置を表すのである.
ここで,\ ベクトルは「方向と距離を合わせもつ量」であった.
ゆえに,\ ある基準点からの相対的な位置に表すのにベクトルが最適なのである.
なお,\ 絶対的な位置と相対的な位置のどちらの表現が適切かは場合による.
実際に点をどのようにベクトルで表すかを説明する.
まず,\ 基準となる点Oを自由に}定める.
このとき,\ 点Aまでのベクトル$a$は一意に定まる.
逆に,\ $a$が与えられたとき,\ それに対応する点Aが一意に定まる.
これは,\ 点Aと${a}$が1対1に対応し,\ ほぼ同一視できることを意味している.
このとき,\ 点AをA$(a)$と表記し,\ $a$を点Oに対する点Aの位置ベクトルという.
内分点の位置ベクトル
2点A(${a}$), B(${b}$)を結ぶ線分ABを$m:n$に内分する点をP(${p}$)とすると
「点aと点bの内分点が点p」という{深刻な誤解}をしている学生が非常に多い.
位置ベクトルはあくまでもベクトル(向きと大きさを合わせもつ量)であり,\ 点になるわけではない.
正しくは,\ 「点\text Aと点\text Bの内分点が\text P」である.\ この関係を何とかしてベクトルで表現したい.
そのために,\ {どこかに基準となる点 Oをとり,\ そこからのベクトルを考える.}
これを踏まえて初めて,\ 内分点の位置ベクトルの公式の真の意味合いが次であると理解できる.
{OからA,Bまでのベクトルa,\ bを用いて,OからPまでのベクトルがp={na+mb}{m+n}と表せる.}
要は,\ {OP}={nOA}+mOB{m+n\ ということである.
内分点}の公式ではなく,\ 内分点の位}置}ベ}ク}ト}ル}\ (\text Oから\text Pまでのベクトルを求める)公式なのである.
OA}とOB}を用いてOP}を表すと考えると,\ 証明も容易である.
{OからPまでAを経由して行くとすると,\ OP}=OA}+AP}\ となる.}
また,\ {AP:PB=m:n}より,\ AP}={m}{m+n}AB}\ である.\ 仮に3:2ならば,\ AP}=35AB}\ である.
後は,\ AB}=OB}-OA}=b-a\ として整理すると公式が導かれる.
この証明から,\ {基準点O}をどこに設定したとしても\ p={na+mb}{m+n}が成り立つ}ことがわかる.
自分の都合の良い点を基準にできることは,\ 図形をベクトルで扱う際の大きなメリットである.
p={n}{m+n}a+{m}{m+n}b\ より,\ 常に係数の和n}{m+n}+{m}{m+n}=1}であることも重要である.
よって,\ {m}{m+n}=t\ とおくと,\ {p=(1-t)a+tb}\ と書き換えることができる.
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