ベクトルの内積の等式を満たす三角形の形状

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次の等式を満たすABCの形状を答えよ.
{内積の等式を満たす三角形の形状
三角形の形状は,\ 正三角形・二等辺三角形・直角三角形くらいしかない.
よって,\ {線分の長さが等しい(ベクトルの大きさが等しい)ことや直角(内積0)を導く}ことを目指す.
ベクトル分野では{始点の統一}が最も重要な基本であるから,\ とりあえず\text Aに統一してみる.
結局,\ 左辺と右辺の2項が相殺され,\ 右辺の1項だけが残る.
内積0より,\ 直角三角形であるとわかる.\ 最後,\ {どの角が直角であるかも明記}すること.
ところで,\ AC}(AB}-AC})=0\ より,\ 安易にAB}=AC}\ などとしてはならない.
また,\ 安易にAC}⊥(AB}-AC})\ としてもならない.
ただし,\ AB}AC}は明らか(=だと{ABC}ができない)なので結果的にはが成立する.
ベクトルの内積は,\ 実数の積のように単純にab=0a=0\ または\ b=0が成り立たない.
{ab=0のとき,\ a=0,\ b=0,\ a⊥bの3つの可能性を確認しなければならない.}
ミスを防ぐためには,\ 和や差AB}-AC}などはできる限り合体させてCB}としてから判断するとよい.
一般に{等式の数は=の数に等しい}から,\ 2つの等式条件があることになる.
とりあえず左側の等式の始点を\text Aに統一してみると,\ 容易に{AB=AC}が求められる.
さて,\ {対称性がある等式では,\ 始点をあえて統一せずに対称性を生かす}と簡潔に済むことが多い.
右側の等式は,\ 左側の等式においてA→B→C→A}としただけの式である.
よって,\ 始点をBに統一}すると,\ 同様にして{BC=BA}が導かれる.
なお,\ AB=ACだからといってAB}=AC}とは限らないことに注意してほしい.
一方,\ AB}=AC}AB=AC\ は常に成り立つ.
AB}=AC}は向きも大きさも等しく,\ AB=ACは大きさ(長さ)だけが等しいからである.
本解において右側の等式の始点も\text Aに統一するとこの別解になる.
この場合,\ {cosの値(なす角)を求める}ことができる.
同じ長さの2辺のなす角が60° ならば,\ 正三角形である.
{対称性がある等式では,\ AB}+BC}+CA}=0}\ を利用する解法も重要である.
{ABC}において明らかに成り立つ等式である.\ この等式を用いて{1文字消去}してみるとよい.
因数分解するように{共通なベクトルをまとめ,\ 残りのベクトルを合体させる}解法も重要である.
とにかく内積0の形を作り出せば,\ 図形的に垂直であることがわかるからである.
このとき,\ 始点を統一したときにAB}-AC}のように差になる場合,\ CB}と合体できる.
AB}+AC}のように和になる場合,\ {無理矢理内分の公式の形とみなす}と図形的意味がわかる.
BCの中点をM}とすると,\ AB}+AC}=2{AB}+AC{2}=2AM}\ となる.\ =0より結局2は関係ない.
後は,\ {中線(頂点と中点を結ぶ線分)が底辺と垂直に交わるならば二等辺三角形}である.
内積の等式の問題では,\ {ベクトルの基本である始点の統一が通用しにくい}ことが多い.
どんな解法が有効かは問題次第なので,\ 様々な視点でとらえることができるようにしておいてほしい.
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