ベクトルの共線条件(3点が一直線上にある条件)

ABC}において,\ 辺{AB}を2:3に内分する点を{P},\ 辺{AC}を4:3に内分する点を{Q},\ $
${BC}を2:1に外分する点を{R}とするとき,\ 3点{P,\ Q,\ R}が一直線上にあることを示せ.$
{ベクトルの共線条件
共線条件とは,\ 3点が一直線上にある条件である.
ベクトルを用いると,\ 次のように簡潔に数式で表現できる.
yellow}{.3}{dyellow}dyellow}{ ${点{R}が直線{PQ}上にある}PR}\ =\ $k$PQ(k:実数)$}
このとき,\ 両辺のベクトル内に同じ点がなければならないことに注意する.
$AB}=kCD}\ のように,\ 両辺に同じ点がない場合,\ 単なる{平行条件である.$
ABとCDが平行なだけで,\ A,\ B,\ C,\ Dのうち3点が一直線上にあるとは限らなくなる.
図形をベクトルで扱うとき,\ {基準点を定め,\ そこからの位置ベクトルで考える.}
問題でどこを基準点にするかが示唆されていない場合,\ {自分で基準点を設定する}.
本問の場合,\ 基準点を三角形の頂点にとるか,\ それ以外の点{O}にとるかの2択がある.
どちらでもよいが,\ 一般には{三角形を扱うときにはその頂点を基準点にとる}と楽になる.
本解では\text Aを基準点としている.\ すると,\ 点\text Aの位置ベクトルがAA}=0となり,\ 式が簡潔になる.
一旦基準点を\text Aと決めたならば,\ {すべての点を Aからの位置ベクトルで表す}ことが重要である.
ここで,\ {任意のベクトルは1次独立なa,\ bを用いてsa+tbの形で表せる}のであった.
1次独立な2つのベクトルは何でもよいが,\ 本問の場合は明らかに{AB}とACにすべきであろう.
AB}=bとおいたりすることも多いが,\ 表記が簡潔になるだけで本質的な意味はない.
位置ベクトルだからといって常に小文字でbで表さなければならないわけではない.
また,\ 小文字のbが常に位置ベクトルを意味するわけでもないので注意してほしい.
さて,\ {PR}=kPQ}\ を示すことが最終目標である}ことを最初に意識する.
そのため,\ 基準点{A}から主要な点P,\ Q,\ R}までのベクトルをAB},\ AC}で表す.
{Pは辺AB上にあるから,\ }AP}\ は\ AB}\ の実数倍で表される.\ AQ}\ も同様である.
直線BC}上外の点\text Aからなので,\ AR}は外分点の位置ベクトルの公式を用いて求める.
最終目標を目指し,\ PQ},\ PR}\ を求める.\ 差に分解し,\ 始点を{A}に変更すればよい.
{最後,\ PQ}=kPR}\ が成り立っていることを確認する.}
実際には,\ {具体的に実数kの値を求める}ことになる.\ PQ}=27PR}\ としてもよい.
同時に,\ PQ:QR=2:5\ であることもわかる.
これは,\ 「{PQ:QR}を求めよ」という問題でも本問と同じ解法であることを意味する.
別解は,\ {基準点{O}からの位置ベクトルで考える}方法である.
三角形の場合,\ {3つの位置ベクトルa,\ b,\ cですべての点の位置を表す}ことになる.
最後は本解と同様に\ PR}=kPQ}\ を示せばよい.
基準点をどこにとると楽かは問題によるし,\ 問題で指定される場合もあるので,\ 両解法の習得が要る.
どちらの解法にしろ,\ 機械的に数式処理すればよく,\ 思考やひらめきはほぼ必要ない.
基準点を設定し,\ PR}=kPQ}の形を目指してほぼ横道のない変形をしただけである.
ある種の図形問題では,\ ベクトルを用いるとひらめきがなくとも一直線で答えに辿り着けるのである.
本問はその代表である.\ 本問から,\ ベクトルの圧倒的なメリットを体感してほしい.
実は,\ 本問は次のようにメネラウスの定理の逆を利用すると瞬殺できる.
AP}{PB}{BR}{RC}{CQ}{QA=232134=1より,\ 3点P,\ Q,\ R}は一直線上にある.
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