ベクトルの内積の定義の成分表示となす角, 垂直条件

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ベクトルの内積の定義の成分表示となす角,\ 垂直条件
ベクトルの内積の成分表示
$a=(a₁,\ a₂),\ b=(b₁,\ b₂{ベクトルのなす角{ベクトルの垂直条件
内積の成分表示が\ a₁b₁+a₂b₂\ となる理由については前項で述べた通りである.
ベクトル分野でなす角ときたら,\ 内積の定義\ ab=a}b}cosθ\ を持ち出すのが原則である.
上で示した式は,\ 内積の定義をcosθ=に変形しただけである.\ 成分で表示することもできる.
a⊥bのとき,\ ab=a}b}cos90°=0\ である.
このように,\ 垂直条件が簡潔に表せることもベクトルの強みである.
ベクトル分野では,\ {垂直ときたら内積0}と直ちに反応できるようにしておきたい.
ただし,\ {a⊥bab=0\ には前提条件\ a0,\ b0\ がある}ことに注意を要する.
例えば,\ aとbが垂直であることの証明問題があったとする.
記述試験で安易に「ab=0\ よりa⊥b」とだけ書くと場合によっては減点対象になりうる.
ab=0であっても,\ 垂直ではなく\ a=0\ や\ b=0\ の可能性があるからである.
この場合,\ 「ab=0  よって\ a0,\ b0\ よりa⊥b」のような記述をすべきである.
ベクトルの垂直条件以外にも,\ 前提条件がある公式や定理は意外と多い.
記述試験では,\ この前提条件を確認することなく使用すると減点対象になる.
前提条件も含めての公式や定理なので,\ 慎重に学習を進めてほしい.
a=(1,\ 3)$に垂直な単位ベクトル$e$を求めよ.
成分が与えられているので,\ {a₁b₁+a₂b₂}{√{\vphantomb₁}²}{a₁}²+{a₂}²}√b₁}²+{b₂}²\ を利用する.
eの成分を文字で設定し,\ 垂直条件と単位ベクトル(大きさ1)となる条件を立式して連立する.
垂直条件はa₁b₁+a₂b₂=0,\ 大きさが1は{x²+y²}=1,\ つまりx²+y²=1である.
あるベクトルに垂直な単位ベクトルとして,\ {互いに逆向きの2つが求まる}はずである.
以下のように考えることも可能である.
一般に,\ {(x,\ y)と垂直なベクトルの1つは(y,\ -x)}である.
(x,\ y)(y,\ -x)=xy+y(-x)=0だからである.
これを利用すると(1,\ 3)に垂直なベクトルの1つが直ちに(3,\ -1)とわかる.
さらに,\ {3²+(-1)²}={10}\ より,\ 垂直な単位ベクトルの1つが{1}10(3,\ -1)とわかる.
上の解答はやや技巧的に思えるかも知れないが,\ 基本に忠実に従っているだけである.
a},\ b},\ abの3文字に対し,\ 式が2a}=b}と垂直条件の2つあると考えればよい.
一般に{式1つで文字1つ消去できる.}
2式を用いて2つ文字を消去した後にcosθを求めにいくと,\ うまく約分できる.
より本質がわかりやすくなるようにa}=x,\ b}=y,\ ab=zとおいてみる.
本問は,\ {条件2x=y,\ 5x²+3z-2y²=0の元で{z}{xy}の値を求める問題}というわけである.
y=2x,\ z=x²と変形してyとzを消去すると,\ {z}{xy}={x²}{x2x}=12\ となる.
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