ベクトルの成分表示と平行四辺形

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3点A(1,\ 2),\ B(4,\ 1),\ C(5,\ 5)と点Dが平行四辺形の頂点となるとき,\ 点Dの座標を
ベクトルの成分表示と平行四辺形
座標${D}を(x,\ y)とおく.$
四角形ABCDが平行四辺形となるとき $AB}=DC$
平行四辺形であるための条件は,\ 中学生のときに学習済みである.
多くの学生は忘れてしまっていると思われるので,\ まずはそれを復習する.
定義 2組の対辺がそれぞれ平行である.
定理 2組の対辺がそれぞれ等しい.
定理 2組の対角がそれぞれ等しい.
定理 対角線がそれぞれの中点で交わる.
定理 1組の対辺が平行でかつその長さが等しい.
このうちどれか1つが成り立てばよいが,\ 日本語をどのように数式に変換するかが問題である.
高校では,\ {向きと大きさを合わせ持つベクトルを用いることで平行四辺形の条件を簡潔に表現できる.}
とりあえず,\ ABCD}の順で平行四辺形になるとする.
定理「1組の対辺が平行でかつその長さが等しい」は,\ 数式で\ AB}=DC}\ である.
ベクトルを=で結ぶことにより,\ ABとDC}の向きも大きさも等しいことが表せるわけである.
当然,\ AD}=BC}\ でもよいが,\ {AB}=CD}\ ではない}ので注意!
初学者には存在価値がわかり辛いベクトルだが,\ ここで初めて有効性を実感できる.
さて,\ 本問は,\ {「4点{A,\ B,\ C,\ D}を頂点とする平行四辺形」}という問題である.
この表現は,\ {4点A,\ B,\ C,\ D}の順序を問わない}ことを意味している.
もし,\ {「四角形{ABCD}が平行四辺形」}とあれば,\ {A→B→C→D→A}と辿ったもののみでよい.
しかし,\ 4点の順序を問わない場合,\ {A→D→B→C→A}と{A→B→D→C→A}も考えられる.
定点A,\ B,\ C}が頂点の ABCの3辺CA,\ AB,\ BC}を対角線にもつ平行四辺形が存在するのである.
結局,\ {平行四辺形となる点{D}の座標として全部で3個}答えることになる.
点\text Dの座標を求めるには,\ 成分表示にして計算すればよい.
AB}の成分は,\ 点Bの座標から点Aの座標}を引くのであった.
本問は座標の問題なので,\ 定理「対角線がそれぞれの中点で交わる」を利用しても容易に求められる.
ABCD}が平行四辺形の場合なら,\ AC}の中点(3,\ 72)=BD}の中点({x+4}{2},\ {y+1}{2})とすればよい.
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