ベクトル|a+tb|の大きさの最小値と図形的意味

スポンサーリンク

a=(-1,\ 4),\ b=(2,\ -1)\ のとき,\ a+t b}\ の最小値とそのときのt$の値を
求めよ.
のときの$t$を$t₀$とするとき,\ $a+t₀b$と$b$が垂直であることを示せ.
{ベクトルの大きさの最小値
本解は,\ 直ちに成分に直して計算していくものである.
成分が与えられている場合はわかりやすく簡潔になる.
結局,\ 2次関数の最小問題に帰着するので,\ 平方完成すればよい.
別解は,\ できる限りベクトルのまま計算するものである.
このとき,\ {ベクトルの大きさは2乗して扱う}のが基本になる.
常にa+tb}0なので,\ a+tb}²が最小になるときa+tb}も最小になる.
2乗した後に成分から求まる大きさと内積の値を代入すると,\ と同様の2次関数になる.
常に成分が与えられるわけではないので,\ 本解・別解ともに重要である.
当然,\ 内積が0になることを示せばよい.
ただし,\ ab=0a⊥b\ は前提条件a0,\ b0の元で成り立つので,\ これを断る.
{図形的意味
${p=a+tb$は後に学ぶ直線のベクトル方程式である.
ただし,\ 未学習者であっても以下の説明で理解できるはずである.
原点をOとする座標平面上において,\ A($-1$,\ 4),\ B(2,\ $-1$)とする.
このとき,\ $OA}=a,\ OB}=b$となる.\ また,\ $OP}=p=a+tb$とおく.
すると,\ 原点から$a$進んで点Aに到達,\ さらに$b$の実数$t$倍進んだところが点Pとなる.
つまり,\ 実数$t$の値が変化すると,\ 点Pは点Aを通り,\ $b$に平行な直線上を動く.}
本問は,\ 点Pが直線上のどこに来たときにOPの長さが最小になるかという問題である.
図より,\ 直線と垂直となるとき,\ OPの長さ($OP}$の大きさ)が最小}となる.
このときの点PをP$’$とする.
本問から,\ 点Aから$65b$進んだところが点P$’$で,\ OP$’$の長さが${7}{5}$}とわかる.
図形的意味を考えれば,\ の$a+65b⊥b$は必然であったわけである.
タイトルとURLをコピーしました