直線のベクトル方程式3パターン

初学者は「ベクトル方程式」という名称に身構えてしまうかもしれない.
しかし,\ 所詮はベクトルで表された直線の式というだけである.
座標平面において,\ 直線上の任意の点$(x,\ y)$の満たす式が$y=ax+b$であった.
これのベクトル版を考えるわけである.
直線は,\ 数学的には「点の集合」である.
点をベクトルで扱うのであるから,\ 位置ベクトルの概念が有効である.
基準点Oを定め,\ 直線上の任意の点Pまでの位置ベクトルをpとする.
この${p}$の満たす式が直線のベクトル方程式である.
以下では,\ 3つの観点から直線をベクトルで表現する.
$$1点と傾きが与えられば,\ 1本の直線が定まる.
{ $$}直線が通る1点Aの位置ベクトルをaとする.
{ $$}また,\ 直線の傾きは,\ 方向ベクトルd}で表現できる.
{ $$}点Pは直線上を動くので,\ 実数$t$を変数として組み込む.}
${点{A}({a})を通り,\ {d}\ に平行な直線のベクトル方程式$}
{点Oに対する点Pの位置ベクトルを求めるため},\ OP}=OA}+AP}\ と考える.
ここで,\ 点{P}は直線上を自由に動くことができる.
よって,\ 方向ベクトルをdとし,\ さらに実数tを用いて\ AP}=td\ と表すことになる.
結局,\ 1点{A}(a)を通る傾きdの直線は,\ p=a+td\ と表される.\ {t=0のとき,\ P=A}となる.
なお,\ tを{媒介変数}という.
直線のベクトル方程式を成分表示にすると,\ 直線の媒介変数表示が得られる.
{ $$}例として,\ 点$(1,\ 2)$を通る傾き3の直線の媒介変数表示を求めてみよう.
{ $$}普通(座標平面上)の直線の方程式は,\ $y=3(x-1)+2=3x-1$\ である.
{ $$}基準点Oを原点(0,\ 0)とする.
{ $$}このとき,\ $p=(x,\ y),\ a=(1,\ 2),\ d=(1,\ 3)とおける.$
{ $$}よって $(x,\ y)=(1,\ 2)+t(1,\ 3)=(1+t,\ 2+3t)}$
$ 直線の媒介変数表示}は {
2式からtを消去すると,\ 座標平面上の直線の方程式が得られる.$
$$2点が与えられれば,\ 1本の直線が定まる.
順当にベクトルを学んできた人は,\ p=(1-t)a+tbという式に見覚えがあるはずである.
は,\ {2点 A(a),\ B(b)をt:(1-t)\ (0
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