交点の位置ベクトル(ベクトル分野ダントツNo.1頻出問題)

{OAB}において,\ 辺{OA}を3:2に内分する点を{C},\ 辺{OB}を3:4に内分する点を{D},\ $ $線分{ADとBC}との交点を{P},\ 直線{OPと辺AB}との交点を{Q}とする.\ $ {交点の位置ベクトル 基本} 交点の位置ベクトルを2通りに表し, 係数を比較する. 交点の位置ベクトル問題は,\ ベクトル分野のダントツNo.1頻出問題}である. まずは,\ 2通りに表して係数比較という最も基本的で重要な解法を習得しなければならない. Pは線分ADの内分点であり,\ かつ線分BCの内分点でもある. よって,\ この2つの観点から,\ OP}を内分点の位置ベクトルの公式を用いて2通りに表せる. 比がわからないので,\ 文字で設定してから内分点の位置ベクトルの公式を適用することになる. ここで,\ 公式\ p={na+mb}{m+n}\ は,\ 常に(係数の和)={n}{m+n}+{m}{m+n}=1である. よって,\ p=(1-t)a+tb\ のように書き換えることができるのであった. 結局,\ s:(1-s)のように{係数の和が1となるよう比を設定}すればよい sと(1-s)は逆でもよいが,\ 後に37を掛けなくて済む方を複雑な(1-s)にした. OP}をaとbで2通りに表した後,\ 以下を利用する.\ 要は{係数比較}である. a}0,\ b0,\ ab\ (aとbが1次独立)\ のとき {sa+tb=s’a+t’bs=s’,\ t=t’} 本問で最も注意すべきは,\ {下線部の記述を忘れてはいけない}ということである. 下線部の前提条件の下で係数が一致するという定理なので,\ その確認を忘れると減点は免れない. 下線部は,\ 代わりに{「aとbは1次独立」}と記述してもよい. 通常,\ sとtを両方求めるが,\ 実際にはsかtの一方さえ求まれば\ OP}\ が求まる. なお,\ {点 Pが{OAB}の内部にある場合,\ }になる.=”” 理由は後に学ぶが,\=”” -aや2aになるはずがないことは図形的に考えるとわかるはずである.=”” もし2aだったとするとoa}の2倍の距離を進むことを意味するので,\=”” 明らかに三角形の外に出る.=”” 座標平面において2直線の交点を求めるとき,\=”” 2直線の方程式を連立した.=”” {座標平面における連立が,\=”” ベクトル分野では2通りに表して係数比較}というわけである.=”” 連立にしろ係数比較にしろ,\=”” 2つの条件を同時に満たす点を求めるという本質は変わらない.=”” }{別解} 直線のベクトル方程式を利用する.=”” ベクトル方程式を未学習の段階かもしれないが,\=”” 解説を読めば十分理解できるはずである.=”” まず,\=”” {異なる2点{a(a),\=”” b(b)}を通る直線のベクトル方程式}が次である.=”” {p=”sa+tb ただし\” s+t=”1\” (係数の和=”1)}” ベクトル方程式とは言ったものの,\=”” 数式的にはp=”(1-t)a+tbで1-t=sとしただけである.” 直線のベクトル方程式は,\=”” 直線上の任意の点\text=”” p(p)を2点\text=”” a(a),\=”” \text=”” b(b)を用いて表す式である.=”” よって,\=”” {点{p}(p)が直線{ab}上にある条件({a,\=”” b,\=”” p}が同一直線上にある条件)}ともみなせる.=”” これを利用するのである.\=”” つまり,\=”” 点{p}が直線{adと直線bc上の点であることを立式し,\=”” 連立する.}=”” {「点pが直線ad上にある」は,\=”” {op}\=”” を\=”” oa}\=”” と\=”” od}\=”” で表し,\=”” (係数の和)=”1}と表せる.}” {「点pが直線bc上にある」は,\=”” ob}\=”” oc}\=”” 本問に対しては一般的な方法ではないが,\=”” 本解法の重要さはこの後すぐにわかる.=”” 別解} メネラウスの定理を利用する.=”” [-4zh]=”” {三角形と交わる1本の直線がある構図で比を求める}とき,\=”” {メネラウスの定理}を利用できる.=”” メネラウスの定理は数\text=”” aの平面図形で学習済みなので,\=”” ここでは簡単な説明に留める.=”” {ap:pd}を求めるため,\=”” oad}と交わる直線{cb}があるとみなす.}=”” そして,\=”” {「obを3:4に内分する点がd」}を{「odを7:4に外分する点がb」}と考える.=”” 後は,\=”” {頂点→分点→頂点の順で一周}する.   {メネラウスの定理 oc}{ca}{ap}{pd}{db}{bo}=”1″ {ap:pd}からop}をoa}とod}で表せるので,\=”” さらにod}をob}で表せばよい.=”” 簡潔に済む上,\=”” 裏技ではないので記述試験で堂々と利用できるのが有り難い.=”” ただし,\=”” 実際の試験問題はもっと複雑なので,\=”” そう簡単に利用はできない.=”” 基本} 交点の位置ベクトルを2通りに表し,\=”” 係数を比較する.=”” ${aq:qb=”u:(1-u)}\” とすると 点qは直線opの延長線上にある}から=”” {qは線分abを内分する点であるから,\=”” op}の場合と同様に比を設定して表す.}=”” また,\=”” {qは直線op上の点でもあるから,\=”” op}の実数倍として表すこともできる.}=”” 係数比較により,\=”” kかuの一方が求まればoq}が求まる.=”” この方法は,\=”” op}を求める場合とは異なり{非推奨}である(理由は以下).=”” {別解} 直線のベクトル方程式を利用する.=”” \=”” op}を用いてoq}を表す.=”” {点qが直線ab上にあることから,\=”” }{(係数の和)=”1}で直ちにkの値が求められる.” 本問の場合には,\=”” 2通りに表して係数比較よりも本解法が優位なのは明らかである.=”” {別解} チェバの定理を利用する.}=”” {三角形と1点で交わる3線分がある構図で周囲の比を求める}とき,\=”” {チェバの定理}を利用できる.=”” 頂点→分点→頂点の順で{=”” oab}を一周するだけである.<="" div="">
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