組合せの基本と順列との関係、nCrの性質

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異なる${n}$個のものの中から異なる${r}$個を取る組合せの総数}は} は3通りに表現できるが,\ いずれも重要である. まず,\ {P nr}{r!}\ の意味を,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4から3個とる組合せの総数を例に考えよう. 一旦,\ 4個から3個取って並べること(順列)を考える. これは,\ P43=432=24通りあるはずで,\ すべて書き出してみる.  [123],\ [132],\ [213],\ [231],\ [312],\ [321] (1,\ 2,\ 3を選んだ)  [124],\ [142],\ [214],\ [241],\ [412],\ [421] (1,\ 2,\ 4を選んだ)  [134],\ [143],\ [314],\ [341],\ [413],\ [431] (1,\ 3,\ 4を選んだ)  [234],\ [243],\ [324],\ [342],\ [423],\ [432] (2,\ 3,\ 4を選んだ) このように,\ 順列は24通りあるが,\ 組合せだけで見ると4通りである. 「選んで並べる(順列)」と「選ぶ(組合せ)」では,\ 組合せの方が楽そうである. しかし,\ 計算で求めようとすると,\ 楽に求まるのは順列の方である. 単純に積の法則を適用するだけで済むからである.\ この公式が\ P nr\ であった. よって,\ 組合せは,\ {順列から逆算して求める}ことになる. つまり,\ 一旦選んで並べた後で,\ 並びを無視するのである. ここで,\ 選んだ異なる3個のものを並べるときの順列の総数は3!通りである. 例えば,\ 1つの組(1,\ 2,\ 3)に対して,\ その並びが3!通りある. これは,\ 他の組についても同様である. 以上から,\ {組合せの総数と順列の総数が1:3!\ で対応する}ことがわかる. よって,\ {順列の総数\ P43\ を3!\ で割れば,\ 組合せの総数が得られる.} これを一般化したものが\ {P nr}{r!}\ なのである. C nrの2つ目の表現は,\ {P nr}{r!}\ を整数の積で書き出したものである. C nrの実際の数値計算は2つめの表現で行う. 分子はP nrであるから,\ r個の整数の積である. \を階乗のみで表現}したものが3つ目の式である. 階乗表現の意味合いは,\ 「同じものを含む順列」の項目で確認する. また,\ ある種の問題では,\ C nrを階乗で表すことが要求される. 素早く\ C73={7!}{3!4!}\ のような変形をできるようにしておこう. }n個からr個を選ぶことと,\ n個から残りのn-r個を選ぶことは同じである. C97などは,\ この性質を用いてC92と考えて計算するべきである. 男子7人,\ 女子5人から5人を選ぶとき,\ 次の場合の数を求めよ.$ $ 12人から5人を選ぶ.$ $ 男子3人,\ 女子2人を選ぶ.$ $ 5人の中に女子が少なくとも1人含まれる.$ $ 特定の男子A,\ Bと女子C}が含まれる.$ $ 特定の男子Aを含み,\ 特定の女子Cを含まない.}$ $ 男子2人,\ 女子3人を選んで1列に並べる.$ }A以外の男子6人とC以外の女子4人から残りの4人を選ぶ その35通りのいずれに対しても,\ 女子5人から2人を選ぶ選び方が\ C52\ 通り. よって,\ 積の法則を適用する. 「少なくとも1人」なので,\ {補集合を利用}する. 「女子が1人も含まれない」,\ つまり「5人全員が男子」を引けばよい. A,\ B,\ C}の3人は選ばれることが決定している. (A,\ B,\ C,\ \maru{?},\ \maru{?) 後は,\ A,\ B,\ C}以外の9人から残りの2人を選べばよい. (A},\ \maru{?},\ \maru{?},\ \maru{?},\ \maru{?})\ の未定の4人をAとCを}除く10人から選べばよい. 本問は,\ 12人から5人を選んで並べる{順列}である. しかし,\ 選んで並べようにも,\ 選び方に人数の制限があり,\ 単純にはいかない. これは,\ 順列P nr=(n人からr人選ぶ)(r人並べる)\ を意味する. 複雑な順列では,\ このように{選ぶことと並べることを別々に考える}とよい. つまり,\ {まず条件を満たすように選び,\ その後で並びを考慮する}のである. 本問でも,\ まず男子2人と女子3人の計5人を選ぶ. そのおのおのの場合に対して,\ 何通りの並び方があるかを考えればよい.
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