異なる$\bm{n}$個のものの中から異なる$\bm{r}$個を取る組合せの総数}}は \\[.5zh] 順列\,\zyunretu nr\,と同様,\ 公式の丸暗記では全く応用が利かないので,\ \bm{意味合いの理解が必須}である. \\[.2zh] なお,\ \text Cは\textbf{C}\text{ombination}\ (組合せ)に由来する. \\[1zh] まず,\ \kumiawase nr=\bunsuu{\zyunretu nr}{r\kaizyou}\ の意味合いを,\ 4個の数字1,\ 2,\ 3,\ 4から3個とる組合せの総数を例に考える. \\[.8zh] 組合せを考える前に,\ まず4個から3個取って並べること(順列)を考える. \\[.2zh] これは\,\zyunretu43=4\cdot3\cdot2=24通りあるはずで,\ すべて書き出すと以下となる. \\[.5zh] [123],\ [132],\ [213],\ [231],\ [312],\ [321] 組合せは\ \ (1,\ 2,\ 3) \\[.2zh] [124],\ [142],\ [214],\ [241],\ [412],\ [421] 組合せは\ \ (1,\ 2,\ 4) \\[.2zh] [134],\ [143],\ [314],\ [341],\ [413],\ [431] 組合せは\ \ (1,\ 3,\ 4) \\[.2zh] [234],\ [243],\ [324],\ [342],\ [423],\ [432] 組合せは\ \ (2,\ 3,\ 4) \\[.5zh] このように,\ 順列は24通りあるが,\ 組合せは4通りしかない. \\[1zh] 一般に,\ 「選んでかつ並べる(順列)」と「選ぶだけ(組合せ)」では,\ 組合せの方が総数が少なくなる. \\[.2zh] しかし,\ 計算で求めやすいのは順列\,\zyunretu nr\,の方である.\ 所詮は積の法則の適用にすぎないからである. \\[.2zh] そこで,\ \bm{順列を利用して組合せを求める}ことになる. \\[.2zh] つまり,\ \bm{一旦選んで並べた後,\ その並び順を無視すると何通りになるかを求める}のである. \\[1zh] ここで重要になるのは,\ \bm{順列と組合せの対応}である. \\[.2zh] 上の例では,\ 1つの組合せに対して,\ 6つの順列が対応している. \\[.2zh] これは,\ 異なる3個のものを並べるときの順列の総数が\,3\kaizyou=6通りあることに起因する. \\[.2zh] 結局,\ \bm{順列の総数\,\zyunretu43\,を3\kaizyou\,で割ると\left(\bunsuu{\zyunretu 43}{3\kaizyou}\right),\ 組合せの総数\,\kumiawase43\,が得られる}わけである. \bm{r\kaizyou\,で割ることがr個分の並び順を無視することを意味する}点が応用上重要である. \\[1zh] nからr個の連続する整数の積)}{(rから1までの整数の積)} \\\\ この階乗表現の意味合いは「同じものを含む順列」の項目で確認する. 以下の$\bm{\textcolor{blue}{二項係数\,\kumiawase nr\,の等式}}$が成り立つことを示せ. \\[1zh] {$n$個から$r$個取り出すことは,\ $n$個から残すもの$n-r$個を選ぶことに等しい.} \\[1zh] 証明の方針には,\ \bm{「組合せの意味を考える」「公式\,\kumiawase nr=\bunsuu{n\kaizyou}{r\kaizyou(n-r)\kaizyou}\,を用いて計算で示す」}がある. \\[.8zh] (1)の等式は,\ 意味合いを考えるとほとんど当たり前に成り立つことがわかる. \\[.2zh] 例えば,\ 異なる9個のものから7個取る組合せの総数は,\ 残すもの2個を選ぶ組合せの総数に等しい. \\[1zh] 等式\,\kumiawase nr=\kumiawase{n}{n-r}\,は常識であり,\ 利用機会が非常に多い.\ 主に以下のように利用する. \\[.8zh] の○の部分の数を小さくして計算しやすくする) \\[.8zh] n○\,の○の部分に文字が含まれないようにする) (2)\ \ 異なる$n$個のものから$r$個を選ぶ組合せの総数は $\textcolor{red}{\kumiawase nr}$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ 一方,\ \textcolor{red}{特定の1個(A)に着目して異なる$n$個のものから$r$個を選ぶ}ことを考える. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ Aを選ぶ場合とAを選ばない場合があり,\ この2つの場合は互いに排反である. \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ [1]\ \ \textcolor{red}{Aを選ぶ}とき \textcolor{cyan}{A以外の$n-1$個から$r-1$個を選ぶ}組合せの総数は $\textcolor{red}{\kumiawase{n-1}{r-1}}$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ [2]\ \ \textcolor{red}{Aを選ばない}とき \textcolor{cyan}{A以外の$n-1$個から$r$個を選ぶ}組合せの総数は $\textcolor{red}{\kumiawase{n-1}{r}}$ \\\\ 具体例を示しておく.\ \ \text Aを含む異なる8個のものから3個を選ぶときの組合せの総数を考える. \\[.2zh] \text{(A,\ A以外,\ A以外)の組合せの総数は \ \,A}以外の7個から2個選べばよいから \kumiawase72\,通り \\[.2zh] \text{(A以外,\ A以外,\ A以外)の組合せの総数は A}以外の7個から3個選べばよいから \kumiawase73\,通り \\[.2zh] 別解は一見複雑だが,\ 5\kaizyou=5\cdot4\kaizyou\ などが成り立つことを理解できていれば容易である. \\[.2zh] 複雑な\,\kumiawase{n-1}{r-1}+\kumiawase{n-1}{r}\,を変形していき,\ \kumiawase nr\,となることを示す. \\[.2zh] 公式適用後,\ 共通因数をくくり出す.\ 分子は(n-1)\kaizyou\,をくくり出せるが,\ 問題は分母である. \\[.2zh] r\kaizyou=r\cdot(r-1)\kaizyou,\ (n-r)\kaizyou=(n-r)\cdot(n-r+1)\kaizyou\ より,\ (r-1)\kaizyou\,と(n-r-1)\kaizyou\,をくくり出せる. \\[.2zh] 括弧内を通分した後にうまく因数を組み合わせると,\ 階乗のみで表すことができる. \\[1zh] n=8,\ r=3のときの具体例を示しておく. \\[.2zh] (3)\ \ \textcolor{red}{$n$人から$r$人の委員を選び,\ さらにその$r$人の委員の中から1人の委員長を選ぶ.} \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ 以下の2通りの方法が考えられる. \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ \textcolor{cyan}{先に$n$人から$r$人の委員を選び,\ その後$r$人の委員の中から1人の委員長を選ぶ.} \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ \textcolor{magenta}{先に$n$人から1人の委員長を選び,\ その後残りの$n-1$人から$r-1$人の委員を選ぶ.} \\[1zh] いくつかのパターン問題や状況で利用することになる等式である. \\[.2zh] 誘導がつかないこともあるので,\ 上級者は暗記しておきたい. \\[.2zh] 本解の意味合いを理解できていれば覚えやすいだろう. \\[1zh] 別解では,\ 両辺の複雑さが同程度なので,\ それぞれ変形して同じ式になることを示している. 男子7人,\ 女子5人から5人を選ぶとき,\ 次の場合の数を求めよ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}$ (1)\ \ 12人から5人を選ぶ.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}$ (2)\ \ 男子3人,\ 女子2人を選ぶ.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}$ (3)\ \ 5人の中に女子が少なくとも1人含まれる.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}$ (4)\ \ 特定の男子\text{A,\ Bと女子C}が含まれる.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}$ (5)\ \ \text{特定の男子Aを含み,\ 特定の女子Cを含まない.}$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}$ (6)\ \ 男子2人,\ 女子3人を選んで1列に並べる.$ \\ A,\ B以外の男子5人とC以外の女子4人から残りの2人を選ぶ.} \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ $そのときの組合せの総数は (5)\ \ \textcolor{cyan}{A以外の男子6人とC以外の女子4人から残りの4人を選ぶ.} (2)\ \ 男子7人から3人を選ぶ組合せの総数が\ \kumiawase73=35\ 通りある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ その35通りのいずれに対しても,\ 女子5人から2人を選ぶ組合せの総数が\ \kumiawase52\ 通りある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ 積の法則を適用する. \\[1zh] (3)\ \ 「少なくとも1人」なので,\ \bm{補集合を利用}する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 「女子が1人も含まれない」,\ つまり「\,5人全員が男子」を除けばよい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \kumiawase nr=\kumiawase{n}{n-r}\,を利用すると計算が楽になる. \\[1zh] (4)\ \ \text{A,\ B,\ C}の3人は選ばれることが決定している. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ \text{A,\ B,\ C}以外の9人から残りの2人を選ぶだけである. (\text{A,\ B,\ C,\ \maru{？},\ \maru{？}}) \\[1zh] (5)\ \ (\text{A},\ \maru{？},\ \maru{？},\ \maru{？},\ \maru{？})\ の未定の4人を\text{AとCを}除く10人から選べばよい. \\[1zh] (6)\ \ 本問は,\ 12人から5人を選んで並べる\bm{順列}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ しかし,\ 単純に\,\zyunretu{12}{5}\,とすると,\ 男子3人,\ 女子2人の場合などもすべて含まれてしまう. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ かといって\,\zyunretu72\times\zyunretu53\,とすると,\ 男子と女子を別々に並べたことになってしまう. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{並べるのだが選び方に条件がある場合,\ 選ぶことと並べることを別々に考える.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ \bm{まず条件を満たすように選び,\ その後で並びを考慮する}のである. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 本問の場合,\ まず男子2人と女子3人の計5人を選ぶ. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \text{\scalebox{.99}[1]{$この選び方\,\kumiawase72\times\kumiawase52\,通りのいずれに対しても5\kaizyou\,通りの並び方があるから,\,\bm{積の法則}を適用する.$}}
