集合の要素の個数(個数定理)

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まず,\ 数Iの論理と集合で学習した集合の用語や記号などの基本事項を再確認する. \\\\  \textbf{\textcolor{blue}{集合の要素}} \\[1zh]   \textbf{\textcolor{blue}{集合}}(set)  \textbf{\textcolor{magenta}{属すか否かが明確に判別できるものの集まり.}}\ \ $A$などの大文字で表す. \\\\   \textbf{\textcolor{blue}{要素(\ruby{元}{{\tiny げん}})}}  \,\textbf{\textcolor{magenta}{集合に属する1つ1つのもの.}} \\[-.2zh] \phantom{  \textbf{\textcolor{blue}{要素(\ruby{元}{{\tiny げん}})}}}  \ \,$a$が集合$A$に属することを$\bm{\textcolor{red}{a\in A}}$,\ 属さないことを$\bm{\textcolor{red}{a\notin A}}$と表す. \\\\   \textbf{\textcolor{blue}{空集合\ $\bm{\varnothing}$}}  \,\textbf{\textcolor{magenta}{要素を1つももたない集合.}} \\\\\\  \textbf{\textcolor{blue}{集合の\ruby{包}{{\tiny ほう}}\ruby{含}{{\tiny がん}}関係}} \\[1zh]   $\bm{\textcolor{red}{x\in Aならば常にx\in B}}$であるとき,\ \textbf{\textcolor{blue}{$\bm{A}$は$\bm{B}$の部分集合である}}といい,\ $\bm{\textcolor{red}{A\subset B}}$と表す. \\[.2zh]   $x\in Aならば常にx\in A$であるから,\ \textbf{\textcolor{cyan}{$\bm{A}$自身も$\bm{A}$の部分集合}}(\,$A\subset A$\,)である.   \textbf{\textcolor{red}{空集合$\bm{\varnothing}$はすべての集合の部分集合}}であると約束する. \\[.2zh]   つまり,\ すべての集合$A$に対して$\bm{\textcolor{red}{\varnothing\subset A}}$である. \\\\\\  \textbf{\textcolor{blue}{集合の表現}} \\[1zh]   [1]\ \ \textbf{\textcolor{blue}{集合の外延的表示}}:\textbf{\textcolor{red}{要素を1つずつ書き並べる.}} \\[.5zh]   [2]\ \ \textbf{\textcolor{blue}{集合の内包的表示}}:\textbf{\textcolor{red}{要素の満たす条件を示す.}} $\{\textcolor{cyan}{要素の代表}\,|\,\textcolor{magenta}{条件}\}$ \\\\   1桁の奇数の集合$A$ならば,\ 以下のように表現できる. \\[.5zh]    [1]\ \ $A=\{1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9\}$ \\[.5zh]    [2]\ \ $A=\{n\,|\,nは奇数,\ 1\leqq n\leqq9\}$,  $A=\{2n-1\,|\,nは自然数,\ 1\leqq n\leqq5\}$ \\\\   $A=\{x\,|\,xは実数,\ 0\leqq x\leqq1\}$などは[1]の表現はできない. \\\\  \textbf{\textcolor{blue}{共通部分と和集合}} \\[1zh]   \textbf{\textcolor{blue}{共通部分\ $\bm{A\cap B}$}} $\bm{\textcolor{red}{AかつB}}$   $\bm{\textcolor{forestgreen}{A,\ Bの両方に属する要素全体の集合}}$ \\[.5zh]   \textbf{\textcolor{blue}{和集合 \ $\bm{A\cup B}$}} $\bm{\textcolor{red}{AまたはB}}$  $\bm{\textcolor{forestgreen}{A,\ Bの\dot{少}\dot{な}\dot{く}\dot{と}\dot{も}\dot{一}\dot{方}に属する要素全体の集合}}$ \\\\   これらは,\ 複数の集合の関係や範囲を図式化した\textbf{\textcolor{blue}{ベン図}}で考えるのが基本である. \\\\全体集合と補集合}} \\[1zh]   \textbf{\textcolor{blue}{全体集合\ $\bm{U}$}} ある集合の部分集合のみ考えるときの元の集合.\ \ \textbf{U}niversal set. \\[.5zh]   \textbf{\textcolor{blue}{補集合\ $\bm{\overline A}$}}  全体集合$U$の要素のうち,\ \textbf{\textcolor{magenta}{$\bm{A}$に属さない要素全体の集合.}} \\\\\\  \textbf{\textcolor{blue}{ド・モルガンの法則}}(ベン図で成り立つことを確認)  数Aでは,\ \textbf{\textcolor{purple}{各集合に含まれる要素の個数}}に着目する.\ 集合$A$の要素の個数を$n(A)$で表す. \\\\  \textbf{\textcolor{blue}{個数定理}} \\\\   \textbf{\textcolor{blue}{2つの集合の和集合の要素の個数}} \\[.5zh]    $\bm{\textcolor{red}{n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)}}$ \\[.5zh]    \ 特に$\bm{A\cap B=\varnothing}のとき \bm{\textcolor{red}{n(A\cup B)=n(A)+n(B)}}$ \\\\   \textbf{\textcolor{blue}{補集合の要素の個数}} \\[.5zh]    $\bm{\textcolor{red}{n(\overline A)=n(U)-n(A)}}$  {\small [\,\textcolor{brown}{$(全体集合の要素の個数)-(集合Aの要素の個数)$}\,]} \\\\   \textbf{\textcolor{blue}{3つの集合の和集合の要素の個数}} \\[.5zh]    $\bm{\textcolor{red}{n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(C\cap A)}}$ \\[.5zh]                                 $\bm{\textcolor{red}{+\,n(A\cap B\cap C)}}$ \\[.5zh] n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\ の証明 \\[.5zh] 右図のように,\ 各部分の要素の個数をそれぞれa,\ b,\ cとする. \\[.5zh] このとき (右辺)=(a+c)+(b+c)-c=a+b+c=(左辺) \\[1zh] なお,\ n(\varnothing)=0\ である. \\[-9zh] 公式の文字面だけを丸暗記してもすぐに忘れてしまう. \\[.2zh] その意味合いをベン図で理解しておくことが重要である. \\[.2zh] 円盤A,\ B,\ Cを重ねたとみなす. \\[.2zh] d,\ e,\ fの部分は2枚の円盤,\ gの部分は3枚の円盤が重なっている. \\[.2zh] よって,\ n(A)+n(B)+n(C)からこの重複分を引かなければならない. \\[.2zh] n(A\cap B)+n(B\cap C)+n(C\cap A)を引くと,\ d,\ e,\ fの部分の2枚分の重複が解消される. \\[.2zh] しかし,\ n(A\cap B\cap C)=gの部分が完全になくなってしまうので,\ 逆に加える必要がある. \\[-17zh] 100から200までの整数のうち,\ 次の整数の個数を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw}\ \begin{tabular}{ll} (1)\ \ 3の倍数かつ5の倍数 & (2)\ \ 3の倍数または5の倍数 \\[.8zh] (3)\ \ 3の倍数だが5の倍数ではない    & (4)\ \ 3の倍数でないかつ5の倍数でない   全体集合を$U$,\ 3の倍数と5の倍数全体の集合をそれぞれ$A,\ B$とする. 倍数の個数を考える場合,\ \bm{積の形で要素を書き出す}とわかりやすい. \\[.2zh] 一般に,\ \bm{n以下の自然数のうちkの倍数の個数は,\ nをkで割ったときの商に等しい.} \\[.2zh] 99\div3=33\cdots0より99=3\cdot33であるから,\ 99以下の正の3の倍数は33個ある. \\[.2zh] よって,\ 100以上の最小の3の倍数は3\cdot34=102である. \\[.2zh] また,\ 200\div3=66\cdots2より,\ 200以下の最大の3の倍数は3\cdot66=198である. \\[.2zh] ゆえに,\ 100以上200以下の3の倍数は66-34+1=33個ある. \\[1zh] 一般に,\ \bm{mからnまでの整数の個数はn-m+1個}であることに注意する.\ \ n-m個ではない. \\[.2zh] n-mとするとm自身も引いてしまうことになるので,\ その1個分を足さなければならない. \\[.2zh] 全体集合Uの個数も100個ではないので要注意である. \\[1zh] n(A)=33を図の26の位置に書き込む学生が多いが,\ ミスを誘発するのでやめてほしい. \\[.2zh] \bm{円周上にA(33)のように書き込む}と,\ 集合A全体の個数が33個であることを誤解なく表現できる. \\[1zh] (1)\ \ \bm{3と5は互いに素}なので,\ 3の倍数かつ5の倍数は3と5の最小公倍数15の倍数に等しい. \\[1zh] (2)\ \ \bm{個数定理}を利用する. \\[1zh] (4)\ \ \bm{ド・モルガンの法則}を利用する. 全体集合を$U$とし,\ $A,\ B,\ C$を$U$の部分集合とする. \\[.2zh] \hspace{.5zw}$n(U)=160,\ n(A)=70,\ n(B)=50,\ n(C)=60,\ n(A\cap B)=20$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$n(B\cap C)=13,\ n(C\cap A)=15,\ n(\overline A\cap\overline B\cap\overline C)=23$のとき,\ $n(A\cap\overline B\cap\overline C)$を求めよ. \\ 個数定理の利用\maru1}連立方程式の利用 まずはベン図を書いてどの部分かを確認する. \\[.2zh] ベン図は,\ \bm{重複が多い部分から順に埋めていく}のが原則である. \\[.2zh] 個数定理でn(A\cap B\cap C)=5が求まり,\,n(A\cap B\cap\overline C)=15とn(A\cap\overline B\cap C)=10も求まる(左図). \\[.2zh] 後はこれらをn(A)=70から引けばよい. \\[1zh] 本問の場合は,\ 別解1のように考えると効率的である. \\[.2zh] どの部分が既知でどの部分を求めるかにより,\ 効率的な方法は変わる. \\[1zh] 最悪,\ 各部分をすべて文字で設定して連立方程式を作成するとよい(別解2). \\[.2zh] 未知数が7個あるから,\ 式が7つあればすべて特定できる. 効率よく連立するのが難しい場合,\ 連立方程式の原則である1文字消去に従えばいつかは求まる. \\[.2zh] 例えば,\ d=20-gを代入してdを全ての式から消去というように,\ 1文字ずつ消去していけばよい.
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