硬貨で支払う方法の場合の数

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500円硬貨,\ 100円硬貨,\ 50円硬貨を使って,\ 800円支払う方法は何通りあるか. \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ 使わない硬貨があってもよい. \\[1zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ 500円硬貨,\ 100円硬貨,\ 50円硬貨をそれぞれ1枚以上使って,\ 1000円支払う方法 \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ は何通りあるか. \\[1zh] \hspace{.5zw}(3)\ \ 500円硬貨,\ 100円硬貨,\ 50円硬貨を使って,\ 10000円支払う方法は何通りあるか. \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ 使わない硬貨があってもよい. (数B:数列) \\ 硬貨で支払う方法の場合の数}}}} \\\\[.5zh]  (1)\ \ 使用する500円硬貨,\ 100円硬貨,\ 50円硬貨の枚数をそれぞれ$x枚,\ y枚,\ z枚$とする. \\[1zh] \bm{枚数を文字でおいて条件を数式で表すと,\ 方程式の整数解の組数の問題に帰着する.} \\[.2zh] つまり,\ \bm{10x+2y+z=16を満たす0以上の整数の組(x,\ y,\ z)が何組あるか}を求めればよい. \\[.2zh] 整数解を求めるのは数\text Aの整数分野の範疇だが,\ 中学生レベルの理解力があれば未学習でも問題ない. \\[.2zh] \bm{係数が大きいほうの文字から順に値を絞り込む}だけである.  (2)\ \ 使用する500円硬貨,\ 100円硬貨,\ 50円硬貨の枚数をそれぞれ$x枚,\ y枚,\ z枚$とする. \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ (使わない硬貨があってもよい)が何通りあるか}に等しい. \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ さらに,\ この\textcolor{cyan}{350円のうち50円分は50円硬貨1枚で支払う}しかない. \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ \scalebox{.98}[1]{よって,\,残り\textcolor{red}{300円の支払い方(使わない硬貨があってもよい)が何通りあるか}を考える.} \\[1zh] 本解は(1)と同様である.\ 別解の考え方を習得しておくと,\ 他の問題で役立つ. \\[1zh] \bm{使用する硬貨が確定していない分の金額を支払う方法が何通りあるかを求める.} \\[.2zh] 各硬貨は最低1枚使うから,\ 650円分は500円硬貨,\ 100円硬貨,\ 50円硬貨1枚ずつで確定している. \\[.2zh] 残りは350円だが,\ このうちの50円分は50円硬貨1枚で支払う他ない. \\[.2zh] 要は,\ 50円硬貨1枚のみの使用でちょうど1000円になることはなく,\ 最低2枚使うことになる. \\[.2zh] よって,\ \bm{700円分は500円硬貨1枚,\ 100円硬貨1枚,\ 50円硬貨2枚で確定する.} \\[.2zh] 結局,\ 残りの300円を支払う方法が何通りあるかさえ求めればよいというわけである. \\[.2zh] 残りの300円の支払いにおいては,\ 使わない硬貨があってもよいことに注意する.  (3)\ \ 使用する500円硬貨,\ 100円硬貨,\ 50円硬貨の枚数をそれぞれ$x枚,\ y枚,\ z枚$とする. \\[1zh] 本質的には(1)と同じだが,\ 金額が大きくなるとすべての整数解を具体的に求めることが難しくなる. \\[.2zh] この場合,\ \bm{文字を用いて一般化して組数を求める}ことになる. \\[.2zh] 求めるべきはあくまでも組数であり,\ 具体的な整数解を求める必要はない. \\[.2zh] 絶対に必要というわけではないが,\ 数\text B:数列の知識がなければ厳しい. \\[1zh] \bm{xは0から20までの21通りがありえるので,\ x=kとおき,\ (y,\ z)を組数を求める.} \\[.2zh] \bm{yは0から始まり,\ z=0となる100-5kまでで終了}である. \\[.2zh] わかりにくければ,\ 以下のように具体的な数値で考えると規則性が見えてくるだろう. \\[.5zh] 後は,\ \bm{すべてのk\ (k=0,\ 1,\ \cdots,\ 20)について組数を足し合わせればよく,\ \retuwa{}{}計算する.} \\[.2zh] Σ公式\ \ \retuwa{k=1}{n}1=n,\ \ \retuwa{k=1}{n}k=\bunsuu12n(n+1)\ はk=1からでなければ適用できない. \\[.8zh] k=0のとき101-5k=101より,\ これを分離してから適用すればよい. \\[1zh] \retuwa{k=0}{20}(101-5k)=101+96+91+\cdots\cdots+6+1より,\ 所詮は\bm{等差数列の和}である. \\[.2zh] よって,\ \retuwa{}{}公式を用いずとも,\ 等差数列の和の公式\,S_n=\bunsuu12n(a+l)を用いて求めることもできる.
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高校数学A 場合の数
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