集合の要素の個数の最大・最小

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集合$U$とその部分集合$A,\ B$に対し,\ $n(U)=100,\ n(A)=70,\ n(B)=40$とする. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $n(A\cap B)$の最大値と最小値を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $n(A\cap \overline B)$の最大値と最小値を求めよ. \\ (1)\ \ \bm{要素の個数が少ないBが多いAに完全に含まれるとき,\ 共通部分の要素の個数が最大になる.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ このときの共通部分の要素の個数は,\ 集合Bの要素の個数と一致する(左図). \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{共通部分の要素の個数が最小になるのは,\ 和集合A\cup Bの要素の個数が最\dot{大}になるとき}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 言い換えると,\ 集合\ \bm{\overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B\ の要素の個数が最小になるとき}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ n(\overline{A\cup B})=0のとき,\ \bm{n(A\cup B)=n(U)}となる(右図). \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 個数定理n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)より n(A\cap B)=n(A)+n(B)-n(U) \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 要は,\ 2つの合計が110個で全体として100個なので,\ 最低10個は重複するというだけである. \\[1zh] (2)\ \ n(A\cap B)の最大・最小に帰着する.
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