同じものを含む円順列とじゅず順列

次の玉を用いるとき,\ 何通りのネックレスが作れるか.$ $ 黒玉4個,\ 緑玉2個,\ 赤玉1個   緑玉4個,\ 赤玉2個$  $7個の玉の円順列の総数}この中で,\ 裏返しても一致するものが3通り}ある(下図).$ じゅず順列の総数を求める場合,\ まず{円順列の総数}を求める必要がある. {1個しかない赤玉を固定して考えると,\ 同じものを含む順列に帰着}する. 黒玉4個と緑玉2個を一旦別物として並べ(6!),\ 重複度4!と2!で割る. 残りの6ヶ所から緑玉2個の場所を選ぶと考え,\ C62=15通り\ としてもよい. さて,\ すべて異なるもののじゅず順列のように単純に円順列を2で割ると間違える. すべて異なるものの場合,\ 円順列とじゅず順列は2:1で対応していた. しかし,\ 同じものを含む場合,\ 円順列とじゅず順列は2:1で対応しない. そもそも,\ 裏返すと一致する異なる2つのペアが存在するから2で割ったのである. しかし,\ {左右対称に並ぶ場合,\ 裏返すと自身になり,\ 異なるペアが存在しない.} よって,\ 左右対称に並ぶものは2で割ることはできず,\ 別個に数えることになる. まず,\ {左右対称の並び方を全て書き出して数える}と3通りあることがわかる. この3通り以外の12通りの円順列には異なるペアが存在するから,\ 2で割る. これと左右対称の円順列3通りを足すと,\ 求めるじゅず順列の総数となる. 1つだけのものがない場合,\ 1つを固定して考える方法が通用しない. 試しに,\ 赤玉を1つ固定し,\ それ以外のものの順列を考える. 固定した赤玉を左端に■}と書くとすると,\ 次の順列は別物である. しかし,\ 円順列では同一の扱いになる.\ {1つ固定しても重複が生じてしまう}のだ. 結局,\ 簡単な公式はないので,\ {すべて書き出して考える.} 本問の場合,\ 赤玉の1つを最上部に固定し,\ もう1つの赤玉の位置を考えればよい.
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