異なるn個のものの円順列}}の総数は (n-1)! 最初に公式を示したが,\ これらの公式を丸暗記するようなことはしてはならない. \\[.2zh] 今後の応用のためには,\ 公式の導出から理解しておく必要がある. \\[1zh] 通常(横)の順列では,\ 次の5つの並びは当然別物である(5通り). \ これらを,\ 左端が最上部にくるように円形(反時計回り)に並べてみると下図となる. \\ 円順列}}では,\ \textbf{\textcolor{red}{回転して一致するものはすべて同じものとみなす.}} \\[.2zh] この5つの円形の並びは回転するとすべて一致するから,\ 円順列としては1通りである. \\[.2zh] このように,\ 5通りの順列から,\ 1通りの円順列を作成できる. \\[.2zh] 逆に,\ 1通りの円順列から,\ 5通りの順列を作成できる. \\[.2zh] これは,\ \textbf{\textcolor{red}{異なる5個のものの順列と円順列が$\bm{5:1}$で対応する}}ことを意味している. \\[.2zh] 結局,\ 異なる5個のものの円順列の総数は,\ 順列の総数$5\kaizyou$を5で割った$\textcolor{red}{\bunsuu{5\kaizyou}{5}=4\kaizyou}\ である.$ \\[.5zh] 一般化すると,\ $異なるn個のものの円順列の総数は 一方,\ 異なる考え方での公式の導出も可能で,\ 重複分で割る考え方よりも重要度が高い. \\[.2zh] 後から回して重複がないかを考える代わりに,\ \textbf{\textcolor{red}{最初に1つを固定して考える}}のである. \\[1zh] 上の例では,\ どんな円順列になるにせよ,\ 回して\textcolor{red}{\maru{\text A}}を一番上にもってくることができる. \\[.2zh] \scalebox{.96}[1]{そこで最初に\textcolor{red}{\maru{\text A}}を一番上に固定すると,\,円順列の違いは他の4個のものの順列の違いとなる.}を始点に反時計回りに並べることと,\ \textcolor{red}{\maru{\text A}}を始点に横に並べることは同じ}}なのである. \\[.2zh] 別の見方をすると,\ \textbf{\textcolor{forestgreen}{特定の1つのものからの相対的な位置を考えている}}ことになる. \\[.2zh] 円順列を真上から見るのではなく,\ \textcolor{red}{\maru{\text A}}の位置に立って順に見ていくイメージである. \\[.2zh] 結局, 異なる5個のものの円順列は,\ 異なる4個のものの順列に帰着し,\ \textcolor{red}{$4\kaizyou$通り}となる. \\[1zh] 円順列に限らず,\ \textbf{\textcolor{purple}{対称性がある問題では「\,1つ固定する」考え方が有効}}である. 回して一致するものに加え,\ 裏返して一致するものも同じものとみなす.}} \\[1zh] 例えば,\ 下の2通りの円順列は裏返すと一致するから,\ じゅず順列としては1通りである. \\[.2zh] すべての円順列には,\ それを裏返した円順列が必ずただ1つ存在する. \\[.2zh] じゅず順列ではこれらを同じものとみなすから,\ \textbf{\textcolor{red}{円順列とじゅず順列は$\bm{2:1}$で対応する.}} \\[.2zh] 結局,\ 異なる5個のもののじゅず順列の総数は,\ 円順列の総数$4\kaizyou$を2で割った\ $\textcolor{red}{\bunsuu{4\kaizyou}{2}}$\ である. \\[.5zh] 一般化すると,\ 異なる$n$個のもののじゅず順列の総数は 7人を円形に並べる方法は何通りあるか. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ 異なる色の7個の玉で首飾りを作る方法は何通りあるか. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(3)\ \ 7人から4人選んで円形に並べる方法は何通りあるか. \\ (3)\ \ 本解のように,\ \bm{選ぶことと並べることを2段階で考える}と応用しやすい. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ まず7人から4人の組を選び(組合せ),\ その後選んだ4人の円形の並べ方を考えるのである. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 一方,\ 別解ではまず7人から4人(\text{A,\ B,\ C,\ Dとする})を選んで横に並べる順列を考える. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 4人\text{A,\ B,\ C,\ D}の順列と円順列は4:1で対応するから,\ 4で割る. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 例えば,\ 4通りの順列\text{[\,ABCD\,],\ [\,BCDA\,],\ [\,CDAB\,],\ [\,DABC\,]}は円順列としては1通りである. 両親,\ 息子3人,\ 娘3人が次のように着席するときの座り方は何通りあるか. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 両親が隣り合うように8人全員が円形のテーブルに着席する. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 男性と女性が交互になるように8人全員が円形のテーブルに着席する. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ 両親が互いに正面に向き合うように8人全員が円形のテーブルに着席する. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (4)\ \ 8人のうちの5人が8人分の席がある円形のテーブルに着席する. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (5)\ \ 正方形のテーブルに各辺2人ずつ並んで着席する. \\ (1)\ \ \bm{隣り合うものは1組のものとして全体を並べ,\ その後組の中で並べる}のであった. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 両親を1組とすると7人の円順列となる.\ さらに両親2人の並べ方が2\kaizyou\,通りある. \\[1zh] (2)\ \ 条件が複雑になると,\ 後から重複分で割る手法は困難になるので,\ 1人を固定して考える. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ \bm{父親の位置を固定して考えると,\ 残りの家族は普通の順列になる.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ つまり,\ \maru{女}\maru{男}\maru{女}\maru{男}\maru{女}\maru{男}\maru{女}\ の並べ方が何通りあるかを考えることに帰着する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 男女交互という条件なので,\ まずは\maru{男}の位置に息子3人を並べる.\ \ 3\kaizyou\,通りの並べ方がある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ さらに,\ \maru{女}の位置に女性4人を並べる.\ その並べ方は4\kaizyou\,通りである. \\[1zh] (3)\ \ \bm{父親の位置を固定して考えると,\ 母親の位置はその正面の1通り}である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 後は子供6人の普通の順列である. \\[1zh] (4)\ \ 8人から5人の選び方が\,\kumiawase85\,通り,\ その後で5人を\dot{8\vphantom{人}}\dot{人}\dot{分}\dot{の}\dot{席}に円形に座らせる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 単に5人を円形に並べるのとは異なり,\ \bm{空席が3つできる}ことに注意する. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 空席は区別できないから,\ \bm{同じものを含む順列の扱い}で求めることになる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 一旦3つの空席が区別できるものとみなすと,\ 異なる8つのものの円順列となる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ (8-1)\kaizyou\,通りは,\ 空_1,\ 空_2,\ 空_3\,の並べ方3\kaizyou\,通りの分を余分に数えているから,\ 3\kaizyou\,で割る. \\[1zh] (5)\ \ 図の2つの座り方は円順列としては1通りだが,\ 本問の条件では2通りの扱いになる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ よって,\ 8人の円順列を求めた後に2倍する.
