円順列とじゅず順列

{円順列   ${異なるn個のものの円順列}の総数は   異なるn個のもののじゅず順列}の総数は  順列では,\ 次の5つの並びは別物である(5通り).  この5通りの列を,\ 左端が最上部にくるように円形に並べると下図となる. 回転して一致するものは同じものとみなすのが決まりである.  この5つの円の並びは回転すると一致するから,\ 円順列では1通りである.  このように,\ 5つの横の列は,\ 1つの円の列になる.  逆に,\ 1つの円の列から,\ 5つの横の列を作成できる.  これは,\ 順列と円順列が,\ ${5:1}$で対応することを意味している.  よって,\ 円順列の総数は,\ 順列の総数を重複度5で割った\ ${5!}{5}=4!}\ である.$  一般化すると,\ $異なるn個のものの円順列の総数は  別の考え方で(n-1)!を導くこともできる. 円順列以外にも広く応用できる考え方が,\ {「1つのものを固定する」}である. 場合の数の問題は,\ {対等性・対称性}を利用すると楽になることが多い. しかし,\ 円順列では,\ 対等性のせいで重複度が生じ,\ 逆に話がややこしくなる. そこで,\ {1つのものを固定することで,\ あえて対等性を喪失させて考える.} 対等性が厄介な場合,\ {「1つを完全に固定して残りだけを考える」}のが有効である. ■}を最上部に固定すると,\ 残りの4つの位置は対等ではなくなる. よって,\ 異なる4つのものを4つの位置に並べればよく,\ 4!\ 通りとなるのである. 別の言い方をすると,\ {1つのものからの相対的な並びを考えている}ことになる. 円の列を真上から眺めるのではなく,\ ■}の位置に立って眺めるイメージである. じゅず順列では,\ 回転に加え,\ 裏返して一致するものも同じものとみなす.  例えば,\ 下の2つは裏返すと一致するから,\ じゅず順列では1通りである.  1つの円形の並びに対して,\ それを裏返した並びが必ずただ1つ存在する.  じゅず順列では,\ この2つを同じものとみなすのである.  これは,\ 円順列とじゅず順列が${2:1}$で対応することを意味している.  よって,\ じゅず順列の総数は,\ 円順列の総数を2で割った\ 7人を円形に並べる方法は何通りあるか. 異なる色の7個の玉で首飾りを作る方法は何通りあるか. 7人から4人選んで円形に並べる方法は何通りあるか. 本解のように,\ {選ぶことと並べることを別々に考える}と応用しやすい. まず7人から4人の組を選び(組合せ),\ その後選んだ4人を円形に並べたのである. 7人から4人を選んで並べ(順列),\ 重複度4で割ると考えたのが別解である. 両親,\ 息子2人,\ 娘2人の6人を円形に並べる. 次のような並び方は何通りあるか.  両親が隣り合う並び方.  男性と女性が交互に並ぶ並び方.  両親が正面に向き合う並び方. {隣り合うものは1組のものとして全体を並べ,\ その後組の中で並べる.} 両親を1組とすると5つの円順列であり,\ さらに両親2人の並びが2通りある. {父親の位置を完全に固定して考える}のがわかりやすい. まず男性を並べる.\ 父親を固定すると,\ 息子2人の並びに帰着する. 次に,\ 女性3人を男性3人の間に並べる. 父親が固定されているから,\ 男性3人の間はすでに対等ではない. よって,\ 女性3人の通常の順列を考えることになる. 父親の位置を完全に固定して考えると,\ 母親の位置は向かい側の1通り. 後は子供4人の通常の順列を考えればよい.
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