補集合の利用「~でない」「少なくとも~」、3つのサイコロの目の積が偶数・4の倍数

スポンサーリンク
大小2個のサイコロを投げるとき,\ 目の和が10以下になる場合は何通りか.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}$(2)\ \ 大中小3個のサイコロを投げるとき,\ 目の積が偶数になる場合は何通りか.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}$(3)\ \ 大中小3個のサイコロを投げるとき,\ 目の積が4の倍数になる場合は何通りか.$ \\ 補集合の利用}}}} \\\\[.5zh]   直接的に求めることが面倒な場合の数は,\ \textbf{\textcolor{cyan}{総数から起こらない場合(補集合)を引く.}} \\[.5zh] \centerline{{\large $\bm{\textcolor{red}{(Aである)=(全体)-(Aでない)}}$}} \\[1zh]   実際には,\ \textbf{\textcolor{forestgreen}{「~でない」}}の場合の数を求めるときに補集合を利用することが多い. \\[.5zh] \centerline{{\large $\bm{\textcolor{red}{(Aでない)=(全体)-(Aである)}}$}} \\[1zh]   また,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{「少なくとも1つ~」}}の場合の数では特に有効である. \\[.5zh] \centerline{{\large $\bm{\textcolor{red}{(少なくとも1つはA)=(全体)-(すべてAでない)}}$}} \\\\\\  (1)\ \ $出る目の総数は 6\times6=36\ (通り)$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ $\textcolor{cyan}{目の和が11}になる場合の数は (5,\ 6),\ (6,\ 5)の\textcolor{cyan}{2通り}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\textcolor{cyan}{目の和が12}になる場合の数は (6,\ 6)の\textcolor{cyan}{1通り}$ \\ 目の和の最小は1+1=2,\ 最大は6+6=12である. \\[.2zh] 和が2,\ 3,\ \cdots,\ 12になる場合はいずれも同時には起こらないから,\ \bm{互いに排反}である. \\[.2zh] つまり,\ (全体)=(和2)+(和3)+\cdots+(和12)が成り立つ(\bm{和の法則}). \\[.2zh] ここで,\ 和が2,\ 3,\ \cdots,\ 10になる場合の数より,\ 11,\ 12になる場合の数を数えるほうが楽である. \\[.2zh] よって,\ \bm{積の法則で求まる全体から,\ 目の和が11,\ 12になる場合を引けば済む.}  (2)\ \ 目の積が偶数になるのは,\ \textcolor{red}{少なくとも1つの目が偶数}になる場合である. \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ $出る目の総数は 6\times6\times6=216\ (通り)$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $\textcolor{cyan}{すべて奇数}の目が出る場合の数は 3\times3\times3=\textcolor{cyan}{27}\ (通り)$  \betu\ \ [\,\textcolor{blue}{直接的に求める}\,] \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ 目の積が偶数になるのは,\ 3つのサイコロ(大,\ 中,\ 小)の偶奇の組が次の場合である. \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ これらの偶奇の組7通りのいずれも,\ その目の出方は$3\times3\times3=27$\,(通り)である. \\ 「3つの目の積が偶数」は,\ \bm{「少なくとも1つの目が偶数」}に言い換えることができる. \\[.2zh] よって,\ \bm{総数から「すべてが奇数」の場合を引いて求める}ほうが楽である. \\[1zh] 実際,\ 区別できる3つのサイコロの偶奇の組(大,\ 中,\ 小)は,\ 次の8通りが考えられる. \\[.5zh]  (偶,\ 偶,\ 偶),\ \ (偶,\ 偶,\ 奇),\ \ (偶,\ 奇,\ 偶),\ \ (偶,\ 奇,\ 奇) \\[.2zh]  (奇,\ 偶,\ 偶),\ \ (奇,\ 偶,\ 奇),\ \ (奇,\ 奇,\ 偶),\ \ (奇,\ 奇,\ 奇) \\[.5zh] すべて奇数の\bm{(奇,\ 奇,\ 奇)以外は積が偶数}であり,\ 明らかに全体から引いたほうが速い. \\[1zh] 1つのサイコロにつき,\ 奇数の目は1,\ 3,\ 5の3通りがある. \\[.2zh] 大サイコロ3通りのいずれに対しても,\ 中サイコロは3通りである. \\[.2zh] よって,\ 3\times3=9通りで,\ さらにその9通りのいずれに対しても小サイコロは3通りである. \\[.2zh] ゆえに,\ すべて奇数の目が出る場合の数は,\ 3\times3\times3=27通り(積の法則)である. \\[1zh] 普段の演習では,\ 楽な方法だけでなく,\ 直接的に泥臭く求めてみることも重要である(別解). \\[.2zh] 正攻法の優位性を改めて確認することにより,\ 理解を深めることができる. \\[.2zh] また,\ 他の問題ではこれが正攻法になるかもしれない. \\[.2zh] 時間的な余裕があれば,\ 実戦でも別解を考えてみることで,\ 検算することができる. \\[1zh] 本問の場合,\ \bm{偶数も奇数も3通りずつなので,\ 偶奇の組合わせによらず27通りずつになる.} \\[.2zh] それゆえ,\ 積の法則により案外楽に求められる. \ $出る目の総数は 6\times6\times6=216\ (通り)$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ (\hspace{.13zw}i\hspace{.13zw})\ \ $\textcolor{red}{すべての目が奇数}の場合の数は \textcolor{red}{3\times3\times3}=27\ (通り)$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ (ii)\ \ $\textcolor{red}{2つの目が奇数で,\ 1つの目が2か6}の場合の数は \textcolor{red}{(3\times3\times2)\times3}=54\ (通り)$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ よって,\ 出る目の積が4の倍数にならない場合の数は $27+54=81$\ (通り) \\[1zh] 解答の記述は簡潔だが,\ ここまでに至る思考過程は容易ではない. \\[.2zh] まず,\ 目の積が4の倍数となる条件を考える. \\[.2zh] \bm{少なくとも1つの目が4}であれば,\ 目の積が4の倍数となる. \\[.2zh] また,\ \bm{少なくとも2つの目が偶数}の場合も,\ 目の積が4の倍数となる. \\[.2zh] 「少なくとも~」であるから,\ \bm{補集合の利用}が思い浮かぶ. \\[1zh] \bm{目の積が4の倍数にならない場合の数}を求める. \\[.2zh] 「少なくとも1つの目が4\,」の否定は,\ \bm{「すべての目が4でない」}である. \\[.2zh] 「少なくとも2つの目が偶数」の否定は,\ \bm{「偶数の目が0個または1個」}である. \\[.2zh] ここで注意すべきは,\ この2つの場合が\bm{互いに排反ではない}ことである. \\[.2zh] 例えば,\ (2,\ 3,\ 5)は「すべての目が4でない」かつ「偶数の目が0個または1個」である. \\[.2zh] それゆえ,\ 単純にこの2つの場合の数の和を総数から引いて求めることはできない. \\[1zh] 重複分を考慮して求めることも可能だが,\ やはり\bm{排反な場合分けをするのが原則}である. \\[.2zh] 場合の数では,\ \bm{条件が強いものや特殊なものに着目して場合を分ける}とよいことが多い. \\[.2zh] また,\ 条件が複雑で一度に場合分けするのが難しいならば,\ \bm{何段階かに分けて場合分けする.} \\[1zh] 本問は,\ まず4の目に着目して場合分けするとよい. \\[.2zh] つまり,\ \bm{4の目を含む場合と含まない場合に分ける.}\ これは互いに排反な場合分けである. \\[.2zh] 4の目を含まない場合でも,\ \bm{4以外の偶数2,\ 6が2つ以上あれば4の倍数になる.} \\[.2zh] よって,\ \bm{偶数2,\ 6がいくつあるかでさらに場合分けをする.}\ これも互いに排反な場合分けである. \\[.2zh] 結局,\ 全体を以下の4通りの排反な場合に分けることができる. \\[1zh] 4の目を1つ以上含む & (目の積が4の倍数である) \\[.5zh] 4の目を1つも含まない\ \ かつ & \begin{cases} 2,\ 6の目がない & \bm{(目の積が4の倍数でない)} \\[.2zh] 2,\ 6の目が1つ & \bm{(目の積が4の倍数でない)} \\[.2zh] 2,\ 6の目が2つ以上  & (目の積が4の倍数である) 全体から4の倍数でない2つの場合を引けば,\ 4の倍数になる場合の数を求めることができる. \\[.2zh] 「\,4の目を含まない\ かつ\ 2,\ 6の目を含まない」は,\ 要は\bm{「すべて奇数の目」}である. \\[.2zh] 「\,4の目を含まない\ かつ\ 2,\ 6の目が1つ」は,\ 要は\bm{「\,奇数の目が2つ,\ 2か6の目が1つ\,」}である. \\[1zh] これだけ思考してようやく計算に入ることができる.\ (奇,\ 奇,\ 奇)は27通りである. \\[.2zh] 「\,奇数の目が2つ,\ 2か6の目が1つ\,」のときの場合の数を考える. \\[.2zh] (大,\ 中,\ 小)=(奇,\ 奇,\ 2か6)となる場合の数は,\ 3\times3\times2=18通りである. \\[.2zh] (奇,\ 2か6,\ 奇),\ (2か6,\ 奇,\ 奇)\ の場合も同様であるから,\ これを3倍して54通りと求められる. \,直接的に求める(4の個数で場合分け)\,}}] \\[1zh] \phantom{ }\ \ (\hspace{.13zw}i\hspace{.13zw})\ \ $\textcolor{red}{すべての目が4}の場合の数は 2つの目が4で,\ 1つの目が4以外}の場合の数は \textcolor{red}1つの目が4で,\ 2つの目が4以外}の場合の数はすべての目が2か6}の場合の数は 2つの目が2か6で,\ 1つが奇数}の場合の数は 本解の解説にある「\,4の目が1つ以上」「\,4を含まず,\ 2,\ 6の目が2つ以上」を直接求めてみる. \\[.2zh] 補集合を利用せずに求める場合も,\ とにかく\bm{排反な場合分けを心掛ける.} \\[1zh] 「\,4の目が1つ以上」は,\ \bm{4の目がいくつあるかで場合分け}すると排反な場合分けになる. \\[.2zh] これが\text{(\hspace{.13zw}i\hspace{.13zw})\ ~\ (\scalebox{0.7}[1]{iii})}である.\ ただし,\ これらは補集合を利用するとまとめて求められる. \\[.2zh] つまり,\ (全体)-(4の目を含まない)=6^3-5^3=91\ (=1+15+75)と求められる. \\[1zh] 「\,4を含まず,\ 2,\ 6の目が2つ以上」は,\ \bm{2,\ 6の目がいくつあるかでさらに場合分け}する. \\[.2zh] これも排反な場合分けである. \\[.2zh] 結局,\ 目の積が4の倍数になる場合は,\ 以下の5通りの排反な場合に分けられる. \\[1zh]  \betu\ \ [\textbf{\textcolor{blue}{\,直接的に求める(偶数の個数で場合分け)\,}}] \\[1zh] \phantom{ }\ \ (\hspace{.13zw}i\hspace{.13zw})\ \ $\textcolor{red}{すべての目が偶数}の場合の数は {2つの目が偶数で,\ 1つの目が奇数}の場合の数は \textcolor{red}$\textcolor{red}{1つの目が4で,\ 2つの目が奇数}の場合の数は  実は,\ \bm{偶数の目がいくつあるかで場合分けすると簡潔に済む.} \\[.2zh] 偶数の目が3つまたは偶数の目が2つ(奇数の目が1つ)の場合,\ 目の積が4の倍数になる. \\[.2zh] また,\ 偶数の目が1つであっても,\ その1つの目が4のときは目の積が4の倍数になる. \\[.2zh] この\bm{3つの場合は互いに排反}であるから,\ それぞれの場合を求めて足せばよい. \\[.2zh] 偶数の目が2つ(奇数の目が1つ)の場合 (大,\ 中,\ 小)=(偶,\ 偶,\ 奇),\ (偶,\ 奇,\ 偶),\ (奇,\ 偶,\ 偶)\ \\[.2zh] 1つの目が4で2つの目が奇数の場合  \ \ \,(大,\ 中,\ 小)=(4,\ 奇,\ 奇),\ (奇,\ 4,\ 奇),\ (奇,\ 奇,\ 4)
スポンサーリンク
スポンサーリンク
高校数学A 場合の数
受験の月をフォローする
受験の月
タイトルとURLをコピーしました