順列の基本(積の法則、nPr、階乗)

異なる${n}$個のものの中から${r}$個を取り出して1列に並べる順列の総数}は} !は「階乗」と読む.{5!=120}\ は暗記しておくと計算が楽になる. {P nrは,\ 階乗での表現も応用上重要である.}\ 変形できない人が多いので要確認. わかりやすいように,\ 具体例を示しておく なぜこれらの式で順列の総数が求まるか(数式の意味)を,\ 以下の問題で確認する. 7人から3人選んで1列に並べるときの並び方は何通りあるか.$ 「3人選んで並べる」は,{ }\ { }\ { }に1人ずつ入れていくと考える. どちらからでもよいが,\ 左から入れていくとする. 左の\ { }\ には,\ 7人から1人選んで入れるから,\ 7通りの入れ方がある. 7人のうち,\ 1人が左に入ると,\ 残りは6人である. 真ん中の\ { }\ には,\ 残りの6人から1人選んで入れるから,\ 6通りの入れ方がある. 最後,\ 残りの5人から1人選んで,\ 右の\ { }\ に入れるから,\ 5通りの入れ方がある. ここで,\ 左の7通りのいずれに対しても,\ 真ん中は6通りある. つまり,\ 誰が左に入っても,\ 真ん中は残り6人のうち誰かを入れることになる. よって,\ 左と真ん中の入れ方は76=42通りある. さらに,\ 42通りのいずれに対しても,\ 右は5通りがある. つまり,\ 誰が左と真ん中に入っても,\ 右は残り5人のうち誰かを入れることになる. 結局,\ 425=210通りと求めることができる. 要は,\ これは単なる{「積の法則」}であり,\ それ以上でもそれ以下でもない. 実は,\ P nrやn!には,\ 記述を楽にする以上の存在価値はない. 重要なのは公式P nr,\ n!ではなく,\ {「順列が積の法則で求まる」}ことである. P73という表現はどうでもいい.\ 765\ の意味合いが重要なのだ. 理解なく「並べるからP nrだ」などという安易な考えは,\ 応用問題には通用しない. なお,\ 断りがない場合,\ 人は区別できると考える. 順列P nrは,\ {「異なる}n個」}からr個取り出して並べる場合の数である. 区別できないものを含む場合,\ 単純にP nrにはならない.\ これは他で取り上げる. また,\ 「3人選んで」を見て安易にC73と考える人も少なくない. {P nrもC nrも「異なる}n個からr個選ぶ」ことに変わりはない.} 違うのは,\ {並べるか否か(順序を考慮するか否か)}である. 10人から校長,\ 教頭,\ 学級担任を1人ずつ選ぶ場合の数は何通りあるか.$ 単に3人選ぶだけでは,\ 誰がどの役割かまでは決まらない. {校長}{教頭}{担任}に1人ずつ入れていくと考えると{順列}である. 順列であることに気付くか否かは本質的ではない. {「積の法則で求まる」}ことが本質であり,\ それが認識できていれば問題ない. つまり,\ 1098\ がわかっていればよく,\ P10}{3}などと書く必要は一切ない. \7個の数字1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4がある.\ 左右どちらから読んでも同じ順番$ $となるように並べるときの場合の数は何通りあるか.$ 中央に4}を並べ,\ 4の左側に3個の数字1,\ 2,\ 3}を並べる.  左側の並びのそれぞれに対して,\ 右側は左側と対称な並びの1通り}である.  よって,\ 求める場合の数は,\ 3個の数字1,\ 2,\ 3の並び方}に等しい. \ {特殊な4に着目する}のがポイントである. 左右対称になるためには,\ 1個しかない4が中央に並ぶ必要がある. ○○○4△△△  そして,\ 左の3個の○の中には,\ 1,\ 2,\ 3のいずれかが入る. また,\ {○の部分が決まれば,\ △の部分の並びは自動的に定まる.} 例えば,\ 左側が231と決まれば,\ 右側は132の1通りである. 結局,\ ○の部分に入れる1,\ 2,\ 3の並び方が何通りかを求めればよい. 7個の数字の並びだが,\ 条件を考慮すると,\ 左3つの並び方に帰着するのである. 正確にいえば,\ 13!1=6\ として求めたことになる. 最初の1は,\ 中央に入る数が4の1通りであることを意味する. 3!=6 は左側の並び,\ そしてその6通りのいずれに対しても,\ 右側は1通りである. 男子4人と女子3人を1列に並べるとき,\ 次の並び方は何通りあるか.$  $少なくとも一方の端に女子が並ぶ.$  $男子と女子が交互に並ぶ.$  $7人全員の並び方は 7!=5040\ (通り)両端に男子}がくる並び方は P425!}=43120=1440\ (通り)$ $ 5040-1440}={3600\ (通り)}$}  $男子4人と女子3人が交互に並ぶとき,\ 「男女男女男女男}」の順になる.$ { }$男子4人の並び方は4!\ 通り,\ 女子3人の並び方は3!\ 通りである. \ 「少なくとも1つ~」とあるから,\ {補集合を利用}する. \ 「少なくとも一方の端に女子が並ぶ」の否定は{「両端に男子が並ぶ」}である. \ {条件の強い両端から先に並べる.} \ 男子4人からを2人選び,\ 両端に並べるのであるから,\ P42=12通りがある. \ この{12通りのいずれに対しても,\ 残りの5人全員を間に並べる}ことになる. \ よって,\ 積の法則を適用する.\ 5人の並びは5!(=120は暗記推奨)通りである. \ {先に条件である男女の並びを考慮してしまおう.} \ 男子のほうが1人多いので,\ 男女の並び方は1通りである. \ もし男女が同数ならば,\ 2通りがあり得る. \ 「男女男女」と「女男女男」 \ 後は,\ {男子と女子を別々に並べる}ことに帰着する. \ 「○△○△○△○」の○に男子4人を,\ △に女子3人を入れると考えればよい. \ もう1度確認するが,\ ○と△(男子と女子)自体の並びはこの1通りしかない. \ よって,\ 男子だけの並びと女子だけの並びに帰着するのである. \ 例のように,\ 男女の並びが2通りある場合,\ 2が必要になる. \ 男子の24通りのいずれに対しても女子が6通りなので,\ 積の法則を適用する.
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