各位の大小関係が決められた整数の順列 a>b>c>dなど

4桁の整数の千の位,\ 百の位,\ 十の位,\ 一の位をそれぞれa,\ b,\ c,\ dと$ $するとき,\ 次の条件を満たす4桁の整数は何個あるか.$ 0から10の11個の整数から異なる4個を選べばよい.} 0から11の12個の整数から異なる4個を選べばよい.} {まず4個の整数を選び,\ その後で並べる.} 0~9の10個の整数から4個選べばよいから,\ C10}{4}\ 通りある. 例として,\ 0,\ 2,\ 7,\ 9を選んだとする. 条件を満たすような並びは,\ 9720ただ1つである. つまり,\ この条件は,\ 選びさえすれば並び方は1通りしかない. よって,\ {ただ選ぶだけ}で答えが求まる.\ 結局,\ {組合わせに帰着}するのである. 4個の整数の中に{1つでも0があるとa=0}となり,\ 4桁の整数ではなくなる. よって,\ 0以外の整数1~9から4個選ぶことになる. 同じ数字を重複して選んでもよいため,\ {重複組合せに帰着}する. 本問は,\ 異なる10種類から重複を許して4個選ぶ重複組合せである. よって,\ 公式\ Cn+r-1}{r}\ を用いると,\ C13}{4}となる. 公式の意味は○4個と|\ 9本の並びだが,\ 対応関係がとらえにくい.  ||○○||||○|||○ → (2,\ 2,\ 6,\ 9)  0|1|2||8|9\ と考えている. 公式を覚えておき,\ 機械的にあてはめるのがよいだろう. {a=b=c=d=0\ のときのみ4桁の整数にならない}ので,\ これを除外する. 応用性を考えると,\ {同値変形}による別解が非常に重要である. {a,\ bが整数であるとき,が成立する.} 等号をなくすこの同値変形により,\ の組合せに帰着させる. a,\ b,\ c,\ dは0~9の整数であるから,\ 条件は\ 9 a b c d0\ である. まず,\ c d\ より, ここで,\ {a,\ b,\ cとa’,\ b’,\ c’は1対1に対応}している. よって,\ a’,\ b’,\ c’,\ dの組合せを考慮すればよく,\ と同じである. の別解のように同値変形すれば,\ 容易にの組合せに帰着する. は重複組合せが有利だったが,\ は同値変形が有利であり,\ 本解とした. が混在しているならば,\ 通常は{場合分け}をする. 一般に,\ a b\ は,,が同時に起こるはずはないから,\ この2つの場合は{排反}である. ,のときは,\ 0~9の10個の整数から3個選ぶことになる. が多くなるほど場合分けが面倒になり,\ 同値変形の強力さが際立ってくる. \ { が1つにつき,\ 2つに場合分けする}必要がある. よって,\ が2つある本問では,\ 22=4つに場合分けすることになる. 仮にを同様に場合分けしようとすると,\ 2⁴=16の場合分けを要する. (.13zw}i.13zw}),\ (ii),\ .7}{(iii)}はと同様である.} .8}{(iv)は,\ 0~9の10個の整数から2個選べばよい.
タイトルとURLをコピーしました