大小関係が決められた数字の順列(差の条件がある数字の選び方)

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$4桁の整数の千の位,\ 百の位,\ 十の位,\ 一の位をそれぞれa,\ b,\ c,\ dとするとき,\ $ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$次の条件を満たす4桁の整数は何個あるか.$ \\[1zh] \ $a\geqq b\geqq c\geqq d$ \\[.8zh] $a\gg b\gg c\gg d (ここではa\gg bはa-b\geqq2を意味するものとする)$ \\ {大小関係が決められた数字の順列}}}} \\\\[.5zh]  (1)\ \ \textcolor{cyan}{0から9の10個の整数から異なる4個を選ぶ組合せの総数}に等しい. 初見では難しそうに思えるが,\ 以下のように考えることで瞬殺できる. \\[.2zh] \bm{先に4個の整数を選び,\ その後に並べる}ことにする. \\[.2zh] 0\,~\,9の10個の整数から4個選ぶ場合の数は\,\kumiawase{10}{4}\,通りである. \\[.2zh] 仮に0,\ 2,\ 7,\ 9を選んだとすると,\ 条件を満たす並べ方は9720のただ1通りである. \\[.2zh] つまり,\ このような\bm{大小関係を定める条件があるとき,\ 選びさえすれば並べ方は1通り}になる. \\[.2zh] 結局,\ \bm{組合せに帰着}するわけである. 1から9の9個の整数から異なる4個を選ぶ組合せの総数}に等しい. 4個の整数の中に\bm{1つでも0があるとa=0}となり,\ 4桁の整数ではなくなる. \\[.2zh] よって,\ 0以外の1桁の整数1\,~\,9から4個を選ぶことになる. 0から9の10個の整数から重複を許して4個を選ぶ組合せの総数}を求めればよい. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ ただし,\ \textcolor{magenta}{すべて0となる場合を除く.} \\[1zh] 0から12の13個の整数から異なる4個を選ぶ組合せの総数}を求めればよい. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ ただし,\ \textcolor{magenta}{すべて0となる場合を除く.} 同じ数字を重複して選んでもよいため,\ \bm{重複組合せに帰着}する. \\[.2zh] よって,\ n種類のものから重複を許してr個選ぶ組合せの公式\,\bm{\Kumiawase nr=\kumiawase{n+r-1}{r}}\,を用いればよい. \\[.2zh] 重複組合せの項で学習したように○と|に対応させて求めることも可能である. \\[.2zh] 本問の場合,\ 4個の○と9本の|の並べ方に帰着するから n>rのとき○より|が多くなり対応が直感的にわかりづらいので,\ 機械的な公式適用を推奨する. \\[.2zh] 最後,\ \bm{a=b=c=d=0のときのみ4桁の整数にならない}ので,\ この1通りを除外する. \\[1zh] 応用性を考えると,\ \bm{同値変形}による別解が非常に重要である. \\[.2zh] \bm{a,\ bが整数}であるとき,\ \bm{a\geqq b\ \Longleftrightarrow\ a+1>b}\ が成立する. \\[.2zh] 等号をなくすこの同値変形により,\ (1)のパターンに帰着させることができる. \\[.2zh] a,\ b,\ c,\ dは0\,~\,9の整数であるから,\ 本問の条件は正確には\ 9\geqq a\geqq b\geqq c\geqq d\geqq0\ である. 0から10の11個の整数から異なる4個を選ぶ組合せの総数}に等しい. \\[1zh] (3)の別解のように同値変形すると,\ (1)のパターンに帰着する. \\[.2zh] (3)は重複組合せとして求める方法が優位であったが,\ (4)は同値変形による方法が優位である. 0から11の12個の整数から異なる4個を選ぶ組合せの総数}に等しい. \\[1zh] 場合分けはわかりやすいかもしれないが,\ \bm{\geqq 1つにつき2つに場合分けする}必要がある. \\[.2zh] \geqq が2つある本問では,\ 2\times2=4つに場合分けする羽目になる. \\[.2zh] やはり,\ \bm{同値変形}による解法を習得しておくべきである. するとまず考慮しなければならなくなるのが,\ \bm{2条件に共通する最大数cの値}である. \\[.2zh] cは3以上とわかるから,\ 後はc=3,\ 4,\ 5,\ \cdots,\ 9の場合に分けてそれぞれ求めるしかない. \\[1zh] また,\ 0\leqq d\leqq5より,\ dの選び方は\,\kumiawase61\,通りであるから,\ a,\ b,\ dの選び方は\,\kumiawase52\cdot\kumiawase61\,通りである. \\[1zh] 別解は,\ \bm{補集合を利用}するものである. \\[.2zh] 逆向きの不等号が1個しかない本問では,\ 補集合を容易に求めることができる. \\[1zh] ら異なる3個を選べばよいが,\,\bm{条件にないdの考慮を忘れやすい.よいことを意味するから,\=”” dの10通りを掛ける必要がある.=”” \bm{差が2以上となるような4個の数字の選び方}を考えればよい.=”” (1)のように差が1以上となるような選び方が最も求めやすいので,\=”” ここでも\bm{同値変形}が有効であ異なる3個を選べばよいが,\,\bm{条件にないdの考慮を忘れやすい.}
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