同じものを含む順列 n!/p!q!r!

同じものがそれぞれp個,\ q個,\ r個ずつ,\ 全部でn個ある.$  $このn個のものを全て並べる順列の総数は 同じものを含む順列は,\ {実質組合せ}である. 並べるとはいっても,\ {区別できないものは並びが関係なくなる}からである. このことを理解するための例として,\ A}2個とB}3個を並べることを考える. これは,\ {5箇所 からA}を入れる2箇所を選ぶ}ことに等しい. A}が入る2箇所が決まれば,\ 自動的にB}が入る3箇所が決まるからである. 結局,\ A}2個とB}3個の並びの総数は,\ C52=10\ 通りである. この組合せによる考え方は,\ 同じものの種類が増えると面倒になる. そこで便利なのが{階乗の形の表現}である.\ と表せるのであった. 同じものを含む順列に対して,\ 階乗の表現は次のような意味付けができる. {一旦5個の文字を区別できるものとみなして並べる.}\ その順列の総数が{5!\ 通り.} ここで,\ A₁,\ A₂\ の並べ方は\ 2!通り,\ B₁,\ B₂,\ B₃\ の並べ方は\ 3!\ 通りある. よって,\ 区別できるとみなした場合,\ 2!\ と\ 3!\ を余計に掛けることになる. 実際は区別できないので,\ {5!\ を\ 2!\ と\ 3!\ で割って調整した}と考えればよい. 以上のように考えると,\ 同じものの種類が増えても容易に拡張できる. まず{すべて区別できるものとみなして並べ,\ 後から重複度で割ればよい}のである. 極めて応用性が高いこの考え方に必ず慣れておこう. 白球4個,\ 赤球3個,\ 黒球2個,\ 青球1個の並べ方は何通りあるか.$ $ただし,\ 同じ色の球は区別しないものとする.$ 10個を区別できるものとみなして並べ,\ 同じものの個数の並べ方で割る. 組合せで考える別解も示した. まず,\ 10箇所から白球を入れる4箇所を選ぶ. さらに,\ 残りの6箇所から赤球を入れる3箇所を選ぶ.\ 以下同様. 複数の求め方ができることは重要だが,\ 実際に組合せで求めることはないだろう. 7文字のアルファベットA,\ A,\ A,\ B,\ C,\ D,\ Eから5文字を取り出して並 べる方法は何通りあるか. 5個選んで並べる順列だが,\ 同じ文字を何個含むかで順列の扱いが変わる. 本問の場合,\ 重複度が変わるのはA}のみであるから,\ {Aの個数で場合を分ける.} {まず条件を満たすように文字を選び,\ その後で並びを考慮する.} A}が1個のとき,\ 単純に5文字A,\ B,\ C,\ D,\ E}の並びである. A}が2個のとき,\ まずA}以外の3文字を4文字B,\ C,\ D,\ E}から選ぶ. その上で,\ A}2個を含む5文字の並びを考える. A}が3個のときも同様に,\ A}以外の2文字を4文字B,\ C,\ D,\ E}から選ぶ. その上で,\ A}3個を含む5文字の並びを考える. 9文字のアルファベットA,\ A,\ A,\ A,\ B,\ B,\ B,\ C,\ C}から4個を取り出し$ $て並べる方法は何通りあるか.$ 2個が同じ文字で,\ 残りは別の文字 同じ文字を何個含むかで順列の扱いが変わるから場合分けをする. 本問の場合,\ {○○○○,\ ○○○△,\ ○○△△,\ ○○△□\ }のパターンがありうる. {まずそれぞれの文字パターンになるように選び,\ その後で並びを考慮する.} ○○○△の3文字になりうるのは,\ AかB}の2通りである.\ C}は2文字しかない. ○にAとB}のどちらを入れても,\ △は残り2文字の一方が入るから2通りある. 4通りの組合せを全て書き出すと,\ AAAB,\ AAAC,\ BBBA,\ BBBC}\ となる. この4通りの組合せには,\ いずれも4通りの並び方がある. ○○△△の○と△は,\ A,\ B,\ C}の3種類の文字から2つを選べばよい. 3通りの組合せを全て書き出すと,\ AABB,\ BBCC,\ CCAA}\ となる. この3通りの組み合わせには,\ いずれも6通りの並び方がある. ○○△□は,\ まず○に入る文字を決める.\ ○だけが2個あり,\ 特殊だからである. A,\ B,\ C}いずれも○に入りうるから,\ 3通りがある. ○が決まった時点で△と□が残り2種類の文字であることが確定する(1通り). 3通りの組合せをすべて書き出すと,\ AABC,\ BBCA,\ CCAB}\ となる. この3通りの組合せには,\ いずれも12通りの並び方がある. GOUKAKUの7文字を1列に並べるとき,\ 同じ文字が隣り合わない並 2個のUも2個のKも隣り合う並べ方} 隣り合わないのは,\ 同じ種類の2個の文字である. よって,\ {2個隣り合うものを総数から引く}方針で求めることができる. しかし,\ 「2個のUが隣り合う」と「2個のKが隣り合う」}は{排反ではない.} 重複部分も考慮し,\ 2重に引かれないようにする必要がある. {ベン図}でとらえると一目瞭然である.\ 色塗り部分を求めればよいのである. {隣り合うものは1組にまとめて並べる}のであったの6つを別物とみて並べ,K}の重複度2!で割る. また,\ 重複部分は,\ の5つの並べ方である. よって,\ 白色の部分は\ 360+360-120\ であり,\ これを総数から引けばよい. 間か両端に入れる方針で直接的に求める]  3文字G,\ O,\ A}の並べ方}は $3!}=6\ (通り)$  その間と両端の4箇所にU2個を1個ずつ入れる方法}は $C42}=6\ (通り)$  その間と両端の6箇所にK2個を1個ずつ入れる方法}は $  U2個1組とG,\ O,\ Aの並べ方}は $4!}=24\ (通り)$  Uの間にKを1個入れる.}  それ以外の間か両端にKを入れる方法}は 本来,\ 「隣り合わない」は,\ 他のものを並べた後,\ 間か両端に入れる方針をとる. しかし,\ 本問のように2種のものがどちらも隣り合わない場合,\ 注意が必要である. {「間か両端に入れる」を2段階で行うと,\ 一部の場合がもれてしまう}からである. よって,\ 本問は本解の解法が自然であり,\ この考え方は別解とした. 次のような手順で,\ 同じ文字が隣り合わないように並べるとする. 「GOAを並べる」→「U2個を間か両端に入れる」→「K2個を間か両端に入れる」} この場合,\ 例えば\ [UKUGOKA]}\ がカウントされなくなる. Kを入れる前に,\ [UUGOA]\ のように2個のUが並んでいる必要があるからである.} このもれをなくすため,\ 次の2つに場合分けして求める. {「間か両端に入れるを2段階で行う」「1段階目はU2個が隣接する」} この2つの場合は互いに{排反}である. 「間か両端に入れるを2段階で行う」場合を考える. 1段階目のUの入れ方6通りのいずれに対しても,\ Kの入れ方は15通りになる.} 「1段階目はU}2個が隣接する」場合を考える. その上でU}が隣接しないようにするには,\ {UUの間にKを1個入れる}必要がある.
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