正四角錐、正三角柱、正四面体、立方体の色の塗り分け

次のように立体を塗り分ける方法は何通りあるか. ただし,\ 回転させて一致する塗り方は1通りとする.  正四角錐の各面を異なる5色をすべて使って塗り分ける.  正三角柱の各面を異なる5色をすべて使って塗り分ける.  正四面体の各面を異なる4色をすべて使って塗り分ける. 底面の塗り方が5通り}ある.$ { }$側面の塗り方は,\ 異なる4色を円形に並べる円順列}である.$ $ 5}(4-1)!}=56={30\ (通り)}$}  $底面と上面の塗り方}は 54}=20\ (通り)$ { }$側面の塗り方は,\ 異なる3色を円形に並べる円順列}である.$ { }$この中には,\ ひっくり返すと一致するものが2組ずつ含まれる.}底面を特定の色に固定}すると,\ 残りの3つの側面は円順列となる正四角錐    正三角柱    正四面体特殊な面がある立体は先にその面を塗る.} 底面を塗る(5通り)と,\ {4つの側面は横方向の回転に関して対等}である. この場合,\ {円順列}と考えることができる. 特殊な面を先に塗ることで,\ 残りは対等性のある面の問題になるのである. {上面と底面の対等性および3つの側面の対等性}がある. {上面と底面を特殊な面と考えて先に塗る}と,\ 側面は円順列である. 最後に,\ {上面と底面の対等性から生じる重複度を考慮}すればよい. (上面と底面の塗り方)(じゅず順列)\ と考えることもできる. {すべての面が対等}である. この場合,\ {1つの面を完全に固定すると,\ 残りの面の塗り方に帰着する.} ,\ の「特殊な面を先に塗る」とは違うので,\ 混同しないように注意する. 4面を白,\ 赤,\ 青,\ 黒に塗ったとしよう. どんな塗り方であれ,\ 回転すると必ず白い面を底面にすることができる. 塗った後で白い面を底面にして同じものを探すのは回りくどく,\ ややこしい. {最初から底面を白で固定し,\ 残りの塗り方が何通りあるかを考えるのがよい.} すると,\ 底面は白の1通りで,\ 後は側面の円順列に帰着する. これで全ての場合が尽くされる.\ 底面が赤の場合などを考慮する必要はない. 底面が赤の場合,\ 側面のどれかが白となるから,\ 回転すると一致する. そもそも,\ このような重複を防ぐために底面を白に完全に固定したわけである. そこからさらに底面が他の色の場合を考えてしまっては本末転倒である. 次のように立方体を塗り分ける方法は何通りあるか.\ ただし,\ 隣り合う 面は異なる色で塗り,\ 回転させて一致する塗り方は1通りとする.  異なる6色をすべて使って塗り分ける.  異なる5色をすべて使って塗り分ける.  異なる4色をすべて使って塗り分ける.  異なる7色のうちの6色をすべて使って塗り分ける. 底面を固定}すると,\ 上面の塗り方は5通り}ある. { }側面の塗り方は,\ 異なる4色を円形に並べる円順列}である. $ 5}(4-1)!}=56={30\ (通り)}$}  底面と上面を同じ色で塗る}方法は 5通り} { }側面の塗り方は,\ 異なる3色を円形に並べる円順列}である. この中には,\ ひっくり返すと一致するものが2組ずつ含まれる.}4つの側面を2色で塗る}方法は残りの2面の回転して一致しない塗り方は1通り}である. {6つの面が対等}なので,\ {1つの面を完全に固定し,\ 残りの塗り方を考える.} 底面を固定すると,\ 上面が5通り,\ 側面は円順列である. 隣り合わずに塗るには,\ 必ず{1組の対面を同じ色に塗る}ことになる. この{2面を特殊な面と考えて先に塗る}と,\ 残りの面の塗り方は円順列である. 1つの面が完全に固定されたとは異なり,\ 回転させることができる. よって,\ 同じ色の2面の対等性から生じる重複度を考慮する必要がある. {2組の対面を同じ色で塗る}ことになる. {4色から2色を選び,\ 4つの側面に塗る}と考える. 後は上面と底面を2色で塗るわけだが,\ 回転を考慮すると1通りしかない. {選ぶことと塗ることを別々に考える.}\ 7色から6色選び,\ その後6色で塗る.
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