点・直線・三角形・四角形・対角線の個数(基本)

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{直線}}   異なる2点}}で1本}}定まる.{三角形}}  同じ直線上にない3点}}で\平行ではなく, 1点で交わらない3直線}}で平行四辺形}} 平行な2直線が2組}}で 図形の個数は,\ \bm{各図形が一意に定まる条件に着目}して数える.\ 上に代表例を示した. \\[1zh] \text{[1]}\ \ 以下,\ 3直線が1点で交わることはないとする. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 平行でない2直線があれば,\ その交点がただ1個定まる. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ よって,\ 交点の個数は,\ 平行でない2直線の選び方に等しい. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ ゆえに,\ 平行でないn本の直線があるときの交点の個数は \kumiawase n2\ (個) \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ \bm{3本以上の直線が1点で交わる可能性がある場合はその考慮が必要である.} \\[1zh] \text{[2]}\ \ 異なるn個の点のうちの2点を結んでできる直線の本数は \kumiawase n2\ (本) \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ ただし,\ \bm{3個以上の点が同一直線上にある場合はその考慮が必要である.} \\[1zh] \text{[3]}\ \ \bm{どの3点も同一直線上にない}\ n個の点を結んでできる三角形の個数は \kumiawase n3\ (個) \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ \bm{どの3本も平行ではなく,\ 1点で交わらない}直線n本でできる三角形の個数は \kumiawase n3\ (個) \\[1zh] \text{[4]}\ \ m本の平行線と交わるn本の平行線でできる平行四辺形の個数は \kumiawase m2\times\kumiawase n2\ (個) 6本の平行線とそれに直交する6本の平行線が,\ 両方とも同じ間隔で並んでいる. \\[.2zh] \hspace{.5zw}この内の4本の直線で囲まれてできる四角形の中で正方形でないものの個数を求めよ. \\ \bm{四角形の総数から正方形となるものを除く.} \\[.2zh] 四角形の総数は,\ 縦横それぞれ6本の直線から2本ずつ選んだときの場合の数である. \\[1zh] 1辺の長さが1区画の正方形が何個あるかを考える. \\[.2zh] このときの縦線の選び方は,\ \mathRM{A_1A_2,\ A_2A_3,\ A_3A_4,\ A_4A_5,\ A_5A_6}\,の5通りである. \\[.2zh] 同様に,\ 横線の選び方も5通りあるから,\ 1辺の長さが1区画の正方形は5^2\,個ある. \\[.2zh] 1辺の長さが2区画の正方形の縦線の選び方は,\ \mathRM{A_1A_3,\ A_2A_4,\ A_3A_5,\ A_4A_6}\,の4通りある. \\[.2zh] 同様に,\ 横線の選び方も4通りあるから,\ 1辺の長さ2が2区画の正方形は4^2\,個ある. \\[.2zh] さらに同様にして,\ 1辺の長さが3,\ 4,\ 5区画の正方形がそれぞれ3^2,\ 2^2,\ 1^2\,個あることもわかる. \\[1zh] 数列(数\text B)を学習済みならば,\ 本問を縦横n本ずつの場合に一般化できる. \\[.2zh] 1辺の長さがk区画の正方形の縦線の選び方は\mathRM{A_1A_{k+1},\ A_2A_{k+2},\ \cdots,\ A_{n-k}A_n}\,のn-k通りある. \\[.2zh] よって,\ 正方形の個数は\retuwa{k=1}{n-1}(n-k)^2\,個である. \\[1zh] 結局,\ 正方形でない四角形の個数が以下のように求まる. \\[.5zh] 正9角形について以下の問いに答えよ. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 対角線の本数を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 頂点を共有する2本の対角線の組数を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ 内部で交わる2本の対角線の組数を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (4)\ \ 共有点をもたない2本の対角線の組数を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (5)\ \ 内部にある対角線の交点の個数を求めよ. \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{ (1)}\ \ なお,\ 正奇数角形では3本の対角線が内部の1点で交わることはない. \\ 9個の頂点から2個の頂点を選んだ後,\ \textcolor{cyan}{正9角形の辺となる9本を除く.} \\[1zh] 1個の頂点から引ける対角線の本数は9-3=6}$本である. \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ 9倍するとすべての対角線を2回重複して数えることになるから $54\div2=\bm{27\ (本)}$ \\\\[1zh]  (2)\ \ 1個の頂点から引ける対角線の本数$\textcolor{forestgreen}{9-3=6}$本から2本を選べばよい. \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ 頂点は9個あるから   (3)\ \ \textcolor{magenta}{四角形の個数とその内部で交わる2本の対角線の組数は1対1で対応する.} \\[.5zh] 内部で交わる2本の対角線の組数に等しい}から,\ (3)と同様にして (1)\ \ 基本的に2個の頂点で1本の対角線が定まるが,\ 隣り合う2個の頂点を選ぶと対角線ができない. \\[1zh] \phantom{(1)}\ \ 正多角形の対角線の本数の求め方は中学校でも学習した(別解). \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 正n角形の1個の頂点から引ける対角線は,\ 自身と両隣の頂点を除く頂点までのn-3本ある. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 頂点はn個あるからn倍するが,\,\text{ACとCA}のように全ての対角線を2回重複して数えてしまう. \\[1zh] (3)\ \ 四角形の個数に帰着するから,\ 9個の頂点から四角形を作る4個の頂点を選べばよい. \\[1zh] (4)\ \ 2本の対角線の組の総数から共有点をもつものを除く. \\[1zh] (5)\ \ \bm{正9角形では2本の対角線で1個の交点ができる}から,\ (3)と同じ問題である. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 正偶数角形の場合は3本以上の対角線が内部の1点で交わりうる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 例えば,\ 正6角形の場合は3本の対角線が中心で交わる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 一般化は難しいので,\ 仮に正偶数角形の対角線の交点の個数が問われた場合は図を書いて数える.
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