点・直線・三角形・四角形・対角線の個数(基本)

スポンサーリンク
{平行でない2直線}で1個}できる.}  直線    異なる2点}で1本}できる.}  $[3]$三角形   同じ直線上にない3点}で1個}できる.} 平行でなく, 1点で交わらない3直線}で1個}できる.}  $[4]$平行四辺形 平行な2直線が2組}で1個}できる.} 図形の個数は,\ {各図形が一意に定まる条件に着目}して数える.\ 上に代表例を示した. }以下,\ 3直線が1点で交わることはないとする. 平行でない2直線があれば,\ その交点がただ1個定まる. 逆に,\ 1個の交点があれば,\ それに対する平行でない2直線がただ1組定まる. これは,\ {非平行な2直線1組と交点1個が1対1で対応する}ことを意味する. よって,\ 交点の個数は,\ 平行でない2直線の選び方に等しい. ゆえに,\ 互いに平行でないn本の直線があるときの交点は C n2\ (個) {3本以上の直線が1点で交わる可能性がある場合は,\ その考慮が必要である.} }異なるn個の点のうちの2点を結んでできる直線は C n2\ (本) ただし,\ {3個以上の点が一直線上にある場合は,\ その考慮が必要である.} [3]}{どの3点も同一直線上にない}n個の点を結んでできる三角形は C n3\ (個) {どの3本も平行でなく1点で交わらない}直線n本でできる三角形は C n3\ (個) [4]}m本の平行線と交わるn本の平行線でできる平行四辺形は C m2C n2\ (個) {四角形の総数から正方形となるものを引く.} {直交する2直線が2組あれば,\ 1個の四角形が定まる.} よって,\ 6本の直線から2本ずつ選んだときの場合の数が長方形の総数に等しい. 1辺の長さが1の正方形が何個あるかを考える. このときの縦線の選び方は,\ {A₁A₂,\ A₂A₃,\ A₃A₄,\ A₄A₅,\ A₅A_6}の5通りである. 同様に,\ 横線の選び方も5通りあるから,\ 1辺の長さ1の正方形は5²個ある. 1辺の長さ2の正方形の縦線の選び方は,\ {A₁A₃,\ A₂A₄,\ A₃A₅,\ A₄A_6}の4通りある. 同様に,\ 横線の選び方も4通りあるから,\ 1辺の長さ2の正方形は4²個ある. さらに同様にしていくと,\ 1辺の長さ3,\ 4,\ 5の正方形は,\ 3²,\ 2²,\ 1²個ある. 正n角形の対角線の本数を求めよ.$   $n個の頂点のうち2個の頂点の選び方は C n2}\ (通り)$   $このうち,\ 正n角形の辺となるn本を除く.} 基本的には,\ 2個の頂点に対して1本の対角線が定まる. よって,\ 2個の頂点の選び方を考えればよい. しかし,\ 隣合う2個の頂点を選んだ場合は対角線にはならないのでこれを除く. 正多角形の対角線の本数は,\ 中学校で学習済みのはずだが覚えているだろうか. 1個の頂点から引ける対角線は,\ その頂点と両隣の頂点を除くn-3本である. n個の頂点があるからn倍すると,\ n(n-3)本となる. これは,\ すべての対角線を2回重複して数えているから {n(n-3)}{2}\ (本)
タイトルとURLをコピーしました