平面の色の塗り分け

下図のA,\ B,\ C,\ D,\ Eの各領域を塗り分ける.\ 隣り合った領域には異な る色を用いるとき,\ 次の塗り分け方は何通りか.     [広島修道大] 5色全て用いる. 4色全て用いる.  3色全て用いる.        AとE,\ BとC,\ CとEの3組のうち,\ どれか1組の領域を同じ色で塗る.} { }同じ色を塗る領域の選び方は3通り,\ どの色を塗るかは4通りある. { }残りの3ヶ所は3色で塗ればよいから $3!}=6\ (通り)$ $ (34)6}={72\ (通り)}$}  AとE,\ BとCには,\ それぞれ同じ色を塗る}しかない. { }(A,\ E),\ (B,\ C),\ Dを3領域を3色で塗ればよいから A}から順に塗るとする.\ A}の塗り方は5通り. その5通りのいずれに対しても,\ Bの塗り方は4通り.} よって,\ {積の法則}を適用すると,\ AとBの塗り方は}  これは,\ 5つの領域に5人を並べる順列に等しい. 必ずどこか2つの領域を同じ色で塗らなければならない. {条件の厳しいこの領域を先に塗る.}\ 後は単純な順列である. より複雑な領域の場合,\ {樹形図}で考えることも有効である. 本問のを樹形図で求めるとする.\ 72通りを全て書き出す必要はない. 途中で規則性に気付けば,\ そこからは計算で求める.\ 例えば,\ 次のようにする. A}を赤で塗るとして,\ 残りの4箇所の塗り方を樹形図で書き出すと18通りある. A}を塗る色は4通りあるから,\ 184=72通りとすればよい. 複雑な箇所は樹形図で考え,\ 単純な箇所は計算で求めるのが実戦的である.
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