隣接する順列と隣接しない順列

男子4人と女子3人を1列に並べるとき,\ 次の並べ方は何通りあるか.$ $ 女子3人が隣り合う.   \ 女子が隣り合わない.$ $ 少なくとも2人の女子が隣り合う.$ $ 女子3人のうち,\ 2人だけが隣り合う.$ $ 男子X}が女子2人と隣り合う.$ $ 女子A,\ B,\ Cのうち,\ AがB,\ C}の少なくとも1人と隣り合う.$ $ 女子A,\ B,\ Cのうち,\ AとBが隣合い,\ BとCが隣り合わない.}$  基本は次の2点である. 隣接するもの}は, 1組にまとめて全体を並べた後, 組の中を並べる.  $$ 隣接しないもの}は, それ以外のものを並べた後, 両端または間に入れる.  男子4人と女子3人1組}の並び方は  まず,\ {女子3人を1組}として,\ {男}\ {男}\ {男}\ {男}\ {女女女}\ の{5つの順列}を考える. さらに,\ {女子3人を組の中で並び替える.} 5!通りのいずれに対しても女子の並びが3!通りあるから,\ {積の法則}を適用する.  男子4人の並び方男子4人の間と両端の5ヶ所のうち3ヶ所に女子3人を1人ずつ入れる.} { }$このときの場合の数は 先に男子を並べ,\ その間または両端に女子を入れれば,\ 女子が隣り合うことはない. つまり, \land\ {男}\land{男}\land{男}\land{男}\ \land の\land の位置に女子を並べればよい. 「隣り合わない」ならば,\ 「総数から隣り合うものを引く」ことが思い浮かぶ. 確かに,\ 「2人が}隣り合わない」場合は,\ 「2人が}隣り合う」を引く方針もよい. しかし,\ 「3人以上が隣り合わない」となると,\ 引く方針は一気に難しくなる. 本問であれば,\ 「3人が隣り合う」と「2人だけが隣り合う」を引く必要がある. 「3人が隣り合う」場合は,\ のように容易に求まる. 一方,\ 「2人だけが隣り合う」を求めるには,\ 結局本解の考え方を要する. → 結局,\ 本解のように求めるのが楽なのである.  総数から隣り合わない場合を除けばよい.} {「少なくとも~」は,\ 補集合を利用}すればよい. 「少なくとも2人の女子が隣り合う」の否定は,\ 「女子が隣り合わない」である.  男子4人の並び方は  { }男子4人の間と両端の5ヶ所のうち1ヶ所に女子2人をまとめて入れる.} { }このときの場合の数は $5P3}{2=532=30\ $(通り) { }さらに,\ 残りの4ヶ所のうち1ヶ所に残りの女子1人を入れればよい.} 総数から女子3人が隣り合う場合と女子が隣り合わない場合を除く.} 女子2人を1組と考え,\ 安易に\ 6!2!\ で終えると間違える. {男}\ {男}\ {男}\ {男}\ {女}\ {女女}\ のように3人並ぶ場合も含まれてしまうからである. {女}\ {女女}が{隣り合わない条件も考慮}しなければならない. また,\ 6!2!\ では,\ 3人のうちどの2人が組になるかの考慮も不足している. {男子を先に並べ,\ その間または両端に女子2人と女子1人を入れる.} どこに入れるかが5通り,\ 女子3人のうち2人を並べる場合の数がP32通りである. さらに,\ 残りの女子1人をどこに入れるかが4通りある. なお,\ ,\ が判明済みならば,\ 総数から引けばよい. 男子Xと隣り合う2人の女子の並び方}は $P32}=32=6\ (通り)$ { }男子Xと隣り合う2人の女子を1つの組とする}と,\ 全体の並び方は {女X女}\ {男}\ {男}\ {男}\ {女}\ と考えて並べる. 先に2人の女子と男子X}の組を作るのがわかりやすい. {女子3人から2人選んで男子Xの横に並べる.}\ その後,\ 全体の並びも考慮する. なお,\ 「男子X}」は,\ {女子2人と隣り合うのは特定の男子である}ことを意味する. よって,\ 女子に挟まれる男子が4人のうち誰になるかなどと考慮する必要はない. もし,\ 「男子1人が女子2人と隣り合う」ならば,\ どの男子かで4通りがありうる. AとBが隣り合う並び方}は $6!2}=7202=1440\ (通り)$ { }AとCが隣り合う並び方}も同様に1440通り}ある. { }AがB,\ Cの2人と隣り合う並び方}は 本問でも,\ 女子A,\ B,\ C}はそれぞれが特定されている. よって,\ 3人の誰がA}になるかなどと考慮する必要はない. まず,\ AとB,\ AとC}が隣り合う場合の数をそれぞれ求める. {男}\ {男}\ {男}\ {男}\ {女}\ {AB男\ の6つを並べる.\ また,\ ABとBA}の2通りも考慮する. 「AとBが隣り合う」と「AとCが隣り合う」}は{排反ではない.} よって,\ 重複部分「AとBが隣り合う\ かつ\ AとCが隣り合う」を引く. これは,\ {男}\ {男}\ {男}\ {男}\ {BAC男\ の5つを並べればよい. また,\ BACとCABの2通りも考慮する.}\ 当然,\ ABC}などの並びは含まない. {排反ではない2つの条件を考慮するとき,\ ベン図をイメージする}のが有効である. 求める場合の数は,\ 色塗りされた部分の総数なので,\ 重複部分を引く必要がある. 重複部分は,\ 「BAC,\ CAB}」である. { }男子4人の間と両端の5ヶ所のうちの1ヶ所にAとBを並べる.} { }このときの場合の数は $52}=10\ (通り)$ { }さらに, Bの両端を除く5ヶ所のうちの1ヶ所にCを入れればよい.} {ベン図}がイメージできれば,\ 本解の方法が自然である. 「AとBが隣り合う」集合と「BとCが隣り合う」集合}の関係をベン図でみる. 求める場合の数は色塗り部分であり,\ 重複部分は「ABC,\ CBA」}である. 直接求める別解も示す. 先に男子を並べ,どこに入れるかが5通り,\ さらにAB,\ BAの2通りがある.} ABの順で並べたとき,\ }次の5つの\land のうちの1つの\land にC}を入れればよい. BA}の順で並べた場合も,\ 同様に5通りのC}の入れ方がある. AB,\ BAのいずれに対してもC}の入れ方は5通りであるから,\ 積の法則を適用する.}
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