隣接する順列と隣接しない順列

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男子4人と女子3人を1列に並べるとき,\ 次の並べ方は何通りあるか.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}$ (1)\ \ 女子3人が隣り合う.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}$ (2)\ \ 女子が隣り合わない.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}$ (3)\ \ 少なくとも2人の女子が隣り合う.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}$ (4)\ \ 女子3人のうち,\ 2人だけが隣り合う.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}$ (5)\ \ 男子と女子が交互に並ぶ.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}$ (6)\ \ 少なくとも2人の男子が隣り合う.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}$ (7)\ \ 男子\text{X}が女子2人と隣り合う.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}$ (8)\ \ 女子\text{A,\ B,\ Cのうち,\ AがB,\ C}の少なくとも1人と隣り合う.$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}$ (9)\ \ 女子\text{A,\ B,\ Cのうち,\ AとBが隣り合い,\ BとCが隣り合わない.}$ \\ 隣接する順列と隣接しない順列}}}} \\\\[.5zh]   基本的な考え方は次の2点だけである. \\[1zh]    $[1]$\ \ \textbf{\textcolor{cyan}{隣接するもの}}は, \textbf{\textcolor{red}{1組にまとめて全体を並べた後, 組の中を並べる.}} \\[.5zh]    $[2]$\ \ \textbf{\textcolor{cyan}{隣接しないもの}}は, \textbf{\textcolor{red}{それら以外のものを並べた後, 両端または間に入れる.}} \\\\\\\\  (1)\ \ 男子4人と\textcolor{cyan}{女子3人1組}の並び方は $\textcolor{red}{5\kaizyou}=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120\ $(通り) まず,\ \bm{女子3人を1組}として,\ \fbox{男}\ \fbox{男}\ \fbox{男}\ \fbox{男}\ \fbox{女女女}\ の\bm{5つの順列}を考える. \\[.5zh] さらに,\ \bm{女子3人を組の中で並び替える.} \\[.2zh] 5\kaizyou\,通りのいずれに対しても女子の並びが3\kaizyou\,通りあるから,\ \bm{積の法則}を適用する.  (2)\ \ 男子4人の並び方は $\textcolor{red}{4\kaizyou}=4\cdot3\cdot2\cdot1=24$\ (通り) \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ \textcolor{cyan}{男子4人の両端と間の5ヶ所から3ヶ所選んで女子3人を1人ずつ入れる.} \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ $このときの場合の数は \textcolor{red}{\zyunretu{5}{3}}=5\cdot4\cdot3=60\ $(通り) \\[1zh] \bm{先に男子を並べ,\ その両端または間に女子を入れる}と,\ 女子が隣り合わない. \\[.2zh] つまり, ○\ \fbox{男}\ ○\ \fbox{男}\ ○\ \fbox{男}\ ○\ \fbox{男}\ ○ の○の位置に女子3人を1人ずつ並べればよい. \\[.5zh] 女子の入れ方は,\ 1人目5通り,\ 2人目4通り,\ 3人目3通りあるから,\ 5\cdot4\cdot3通りである. \\[1zh] 隣接しない順列は,\ 全体から隣接する順列を除けばよいと考えた人も多いだろう(補集合の利用). \\[.2zh] 確かに,\ 「\,\underline{2人}\,隣接しない」場合は,\ 全体から「\,\underline{2人}\,隣接する」場合を除く方針も有効である. \\[.4zh] しかし,\ 「\,3人以上が誰とも隣接しない」となると,\ 全体から除く方針は一気に難しくなる. \\[.2zh] 本問の場合ならば,\ 全体から「\,3人全員が隣接する」と「\,2人だけが隣接する」を除く必要が生じる. \\[.2zh] 「\,3人全員が隣接する」は容易に求まるが,\ 「\,2人だけが隣接する」はこれ自体求めるのが面倒である. \\[.2zh] 結局,\ 隣接しない順列は,\ 後から両端または間に入れるという方針が最も手っ取り早いのである.  (3)\ \ \textcolor{cyan}{総数から女子が隣り合わない場合を除けばよい.} \\[.5zh] 「少なくとも~」であるから,\ \bm{補集合を利用}する. \\[.2zh] 「少なくとも2人の女子が隣り合う」の否定は,\ 「女子が隣り合わない」である.  (4)\ \ 男子4人の並び方は $\textcolor{red}{4\kaizyou}=4\cdot3\cdot2\cdot1=24\ (通り)$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ \textcolor{cyan}{男子4人の間と両端の5ヶ所から1ヶ所選んで女子2人をまとめて入れる.} \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ このときの場合の数は $\textcolor{red}{5\times\zyunretu{3}{2}}=5\cdot3\cdot2=30\ $(通り) \\[1zh] \phantom{ (1)}\ \ さらに,\ \textcolor{cyan}{男子4人の間と両端の残りの4ヶ所のうち1ヶ所に残りの女子1人を入れる.} \\[1zh] 総数から女子3人が隣り合う場合と女子が隣り合わない場合を除く.} \\[.5zh] 女子2人を1組として6つのものの並びと考え,\ 安易に\ 6\kaizyou\times2\kaizyou\ で終えると間違える. \\[.2zh] \fbox{男}\ \fbox{男}\ \fbox{男}\ \fbox{男}\ \fbox{女}\ \fbox{女女}\ のように女子3人並ぶ場合も含まれてしまうからである. \\[.5zh] \fbox{女}\ と\ \fbox{女女}\,が\bm{隣り合わない条件も考慮}しなければならない. \\[.5zh] また,\ 6\kaizyou\times2\kaizyou\ だけでは,\ 女子3人のうちどの2人が組になるかの考慮も不足している. \\[1zh] \bm{男子4人を先に並べ,\ その両端または間に女子2人組と女子1人を入れる.} \\[.2zh] ○\ \fbox{男}\ ○\ \fbox{男}\ ○\ \fbox{男}\ ○\ \fbox{男}\ ○ の○の位置に,\ まず女子2人組を入れるとする. \\[.5zh] どこに入れるかが5通り,\ 女子3人から2人選んで並べるから,\ その並び方は\,\zyunretu32\,通りである. \\[.2zh] さらに,\ 最後の女子1人を残った4個の○のどこかに入れればよい. \\[1zh] なお,\ \bm{(1),\ (2),\ (4)は互いに排反で,\ なおかつすべての場合を尽くしている.} \\[.2zh] よって,\ (1),\ (2)が判明済みならば,\ 総数から引いて求めることもできる(別解).  (5)\ \ 男子4人と女子3人が交互に並ぶとき,\ 「\textcolor{red}{男女男女男女男}」の順になる. \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ $男子4人の並び方は4\kaizyou\ 通り,\ 女子3人の並び方は3\kaizyou\ 通りである.$ \\[1zh] 男女の並びは \fbox{男}\ \fbox{女}\ \fbox{男}\ \fbox{女}\ \fbox{男}\ \fbox{女}\ \fbox{男} の1通りしかない. \\[.5zh] よって,\ \bm{男子と女子の並び替えを考慮する必要はなく,\ 男子4人と女子3人をそれぞれ並べればよい.} \\[.5zh] 男子の24通りのいずれに対しても女子が6通りなので,\ 積の法則を適用する. \\[1zh] 男女が同数の場合,\ 並びは2通りあり得るから,\ \times\,2が必要になる. \rei\ \ 「男女男女」と「女男女男」 総数から男子が隣り合わない場合を除けばよい.} \\[.5zh] 男子4人と女子3人のときは,\ \bm{「男子が隣り合わない」と「男子と女子が交互に並ぶ」は同じ}である. }{男子Xと隣り合う2人の女子の並び方}は $\textcolor{red}{\zyunretu32}=3\cdot2=6\ (通り)$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ \textcolor{cyan}{男子Xと隣り合う2人の女子を1つの組とする}と,\ 全体の並び方は \\[.2zh] まず,\ 「男子\text{X}」という表現は,\ \bm{女子2人と隣り合うのは特定の男子である}ことを意味する. \\[.2zh] つまり,\ \text Xはただ1通りであり,\ 女子に挟まれる男子を4人から1人選ぶ必要はない. \\[.2zh] 単に「男子1人が女子2人と隣り合う」ならば,\ どの男子が女子に挟まれるかで\times\,4が必要になる. \\[1zh] \fbox{女X女}\ \fbox{男}\ \fbox{男}\ \fbox{男}\ \fbox{女}\ の5つの並びと考える. \\[.5zh] まず,\ 女子3人から2人選んで男子\text Xの横に並べ,\ \fbox{女X女}\ の組を作るとよい. \\[.2zh] その後,\ 全体の並び方を求める. AとBが隣り合う並び方}は $\textcolor{red}{6\kaizyou\times2}=720\times2=1440\ (通り)$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ \textcolor{cyan}{AとCが隣り合う並び方}も同様に1440通りある. \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ \textcolor{cyan}{AがB,\ Cの2人と隣り合う並び方}は $\textcolor{red}{A,\ B,\ Cが互いに隣り合わない並び方}は,\ (2)より $1440\ (通り)$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ \textcolor{cyan}{AがBともCとも隣り合わず,\ BとCが隣り合う並び方}は $\textcolor{red} \bm{「少なくとも~」だからといって,\ 絶対的に補集合の利用が優位とは限らない.} \\[.2zh] 本問は,\ 直接的に求めるにせよ補集合を利用するにせよ,\ 漏れや重複に注意する必要がある. \\[.2zh] なお,\ 女子\text{A,\ B,\ C}はそれぞれ特定人物なので,\ 3人のうち誰が\text{A}になるかなどを考える必要はない. \\[1zh] 本解は直鉄的に求める方法である. \\[.2zh] まず,\ \text{AとB}が隣り合う並び方が何通りあるかを求める.\ \ \text{AとC}が隣り合う場合も同様である. \\[.2zh] これは,\ \fbox{男}\ \fbox{男}\ \fbox{男}\ \fbox{男}\ \fbox{AB\vphantom{男}}\ \fbox{\vphantom{男}C}\ の6つの並びである.\ \ \text{ABとBA}の2通りも考慮する. \\[1zh] 注意すべきは,\ \text{「\,AとBが隣り合う」と「\,AとCが隣り合う」}が\bm{互いに排反ではない}ことである. \\[.2zh] よって,\ 重複部分\ \textbf{「\,AとBが隣り合う\ かつ\ AとCが隣り合う」を除く}必要がある. \\[.2zh] これは,\ \fbox{男}\ \fbox{男}\ \fbox{男}\ \fbox{男}\ \fbox{BAC\vphantom{男}}\ の5つの並びである.\ \ \text{BACとCABの2通りも考慮する.} \\\\ \bm{排反ではない2つの条件を考慮するとき,\ ベン図で考える}のが有効であった. \\[.2zh] 求める場合の数は左下図の色塗り部分なので,\ 重複部分の\text{BAC,\ CAB}を除く必要がある. \\[1zh] 別解は補集合を利用する方法である. \\[.2zh] \text{「\,AがB,\ C}の少なくとも1人と隣り合う」の否定は,\ \textbf{「\,AがBともCとも隣り合わない」}である. \\[.2zh] この否定には,\ \textbf{BとCが隣り合う場合が含まれている}ことに注意しなければならない. \\[.2zh] 「女子が隣り合わない」「\,\text{BとC}だけが隣り合う」とすると,\ \bm{互いに排反な場合分け}になる. \\[1zh] 「\,\text{BとC}だけが隣り合う」は,\ 先に男子4人と\text Aの計5人を並べる. \\[.2zh] 後は,\ \fbox{BC\vphantom{男}}\ を ○\ \fbox{男}\ ○\ \fbox{男}\ ○\ \fbox{男}\ ○\ \fbox{男}\ ×\ \fbox{A\vphantom{男}}\ × の○の位置に入れればよい. \\[.5zh] 先に並べた5人の並び方によらず\ \fbox{BC\vphantom{男}}\ が入れるのは4ヶ所であるから,\ 積の法則を適用する. \\[.5zh] 例えば,\ ○\ \fbox{男}\ ×\ \fbox{A\vphantom{男}}\ ×\ \fbox{男}\ ○\ \fbox{男}\ ○\ \fbox{男} \ ○ の場合も\ \fbox{BC\vphantom{男}}\ の入れ方は4通りである. \\[.5zh] さらに,\ \text{BCとCB}の2通りも考慮する. \\[.2zh] 男子4人の間と両端の5ヶ所のうちの1ヶ所にABを1組として入れる.} \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ \ このときの場合の数は $\textcolor{red}{5\times2}=10\ (通り)$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ \ さらに, \textcolor{cyan}{Bの両端を除く5ヶ所のうちの1ヶ所にCを入れればよい.} \\[1zh] \bm{ベン図}(右上図)がイメージできていれば,\ 本解の方法が自然である. \\[.2zh] \text{「\,AとBが隣り合う」から「\,AとB,\ BとCが隣り合う(ABC,\ CBA)」を除けばよい.} \\[1zh] 直接的に求める別解も示した. \\[.2zh] 先に男子4人を並べ,\ \ ○\ \fbox{男}\ ○\ \fbox{男}\ ○\ \fbox{男}\ ○\ \fbox{男}\ ○ の○の位置に\ \fbox{AB\vphantom{男}}\ を入れる. \\[.5zh] \text{ABとBAの2通りも考慮する.} \\[.2zh] 最後に,\ ○\ \fbox{男}\ ○\ \fbox{AB\vphantom{男}}\ ×\ \fbox{男}\ ○\ \fbox{男}\ ○\ \fbox{男}\ ○ の○の位置に\ \fbox{C\vphantom{男}}\ を入れる. \\[.5zh] 男子4人と\text{AB}の並び方によらず\ \fbox{C\vphantom{男}}\ が入れるのは5ヶ所であるから,\ 積の法則を適用する. \\[.5zh] 例えば,\ ○\ \fbox{男}\ ○\ \fbox{男}\ ○\ \fbox{男}\ ○\ \fbox{男}\ ×\ \fbox{BA\vphantom{男}} \ ○ の場合も\ \fbox{C\vphantom{男}}\ の入れ方は5通りである.
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