正八面体の色の塗り分けと立方体との双対性

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次のように正八面体を塗り分ける方法は何通りあるか. \\[.2zh] \hspace{.5zw}回転させて一致する塗り方は同じ塗り方とみなす. \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ 6つの頂点を異なる6色をすべて使って塗り分ける. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ 6つの頂点を異なる2色をすべて使って塗り分ける. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (3)\ \ 8つの面を異なる8色をすべて使って塗り分ける. \\[.8zh] \hspace{.5zw} (4)\ \ 8つの面を異なる2色をすべて使って塗り分ける. 正八面体の色の塗り分けと立方体との双対性}下の頂点の色を固定する}と,\ \textcolor{cyan}{上の頂点}の塗り方は  \phantom{ (1)}\ \ 残りの4つの頂点の塗り方は,\ \textcolor{red}{異なる4色の円順列}である. \\[1zh] 立方体の6つの面を2色\maru1,\ \maru2をすべて使って塗ることに等しい.} \\[1zh] (1)\ \ \bm{正八面体の6頂点は対等}なので,\ \bm{1つを固定すると残りの5つの頂点の塗り分けに帰着する.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 勘のいい学生は気付いただろうが,\ 解答は立方体の面の塗り分け(前項)と全く同じである. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ それもそのはず,\ 実は\bm{正八面体を立方体に埋め込む}ことができる(右図). \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 言い換えると,\ \bm{立方体の各面の重心を結ぶと正八面体ができる.} \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ この事実は,\ 場合の数の問題に限らず,\ 正八面体を考察するときに利用できる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 結局,\ \bm{正八面体の6つの頂点を塗ることと立方体の6つの面を塗ることは等しい}わけである. \\[1zh] (2)\ \ 条件が複雑になると,\ 正八面体のままで回転対称性を考慮することが難しくなる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 立方体へ埋め込んでしまえば,\ 前項の立方体の2色での塗り分け問題となる. \\[.2zh] \phantom{(1)}\ \ 本解答は,\ 前項の解答を丸写ししただけである. 立方体の6つの頂点を異なる8色をすべて使って塗ることに等しい.} \\[1zh] 3頂点B,\ D,\ E}の塗り方は,\ \textcolor{red}{異なる3色の円順列}なので $\textcolor{red}{\kumiawase63\times(3-1)\kaizyou}=40\ (通り)$ $7\times40=280$通りのいずれに対しても,\ \textcolor{forestgreen}{3頂点C,\ F,\ H}の塗り方は$\textcolor{forestgreen}{3\kaizyou}=6\ 通り$ある. 正八面体のままで回転対称性を考慮して塗り分けることは難しい. \\[.2zh] 実は,\ 先程までとは逆に,\ \bm{立方体を正八面体に埋め込む}こともできる(上左図). \\[.2zh] 言い換えると,\ \bm{正八面体の各面(正三角形)の重心を結ぶと立方体ができる.} \\[.2zh] このような関係を\bm{立方体(正六面体)と正八面体の双対性}という. \\[.2zh] 双対性により,\ \bm{正八面体の8つの面を塗ることと立方体の8つの頂点を塗ることは等しい}といえる. \\[1zh] 立方体の8頂点は対等なので,\ 1つを固定すると残りの7つの頂点の塗り分けに帰着する. \\[.2zh] ここで,\ 立方体の頂点は,\ ある頂点から何本の辺をたどって行けるかによって3つに分類できる. \\[.2zh] \textbf{Aが出発点ならば,\ B,\ D,\ Eまでは辺1本,\ C,\ F,\ Hまでは辺2本,\,頂点Gまでは辺3本で行ける.} \\[1zh] まず,\ 対角線の両端となる頂点\text{A,\ G}を塗る. \\[.2zh] 次に3頂点\text{B,\ D,\ E}だが,\ \bm{対角線\textbf{AG}を軸とする回転対称性に注意すると円順列の扱い}となる. \\[.2zh] 6色から選んだ3色を円形に並べることになる. \\[.2zh] \bm{異なる3色で\textbf{B,\ D,\ E}を塗ると,\ 残りの3頂点\textbf{C,\ F,\ H}の回転対称性がなくなる}ことに注意する. \\[.2zh] 仮に,\ \text{Bに色\maru1,\ Dに色\maru2,\ Eに色\maru3}を塗ったとしよう. \\[.2zh] このとき,\ \text{Cに\maru4を塗るのとFに\maru4を塗るのとHに\maru4を塗る}のはすべて異なる塗り方となる. \\[.2zh] それゆえ,\ \textbf{3頂点C,\ F,\ Hの塗り方は,\ 円順列ではなく単なる順列の扱い}となるわけである. \\[1zh] 実は,\ 正多面体(4面,\ 6面,\ 8面,\ 12面,\ 20面のみ存在)の塗り分けには公式がある(裏技). \\[.5zh] \bm{正m角形からなる正n面体のすべての面を異なる色で塗る塗り方}は \bm{\bunsuu{(n-1)\kaizyou}{m}\ (通り)} \\\\  \begin{array}{lll} 正四面体 \bunsuu{3\kaizyou}{3}=2\ (通り) & 正十二面体 \bunsuu{11\kaizyou}{5}=7983360\ (通り) \\[1zh] 正六面体 \bunsuu{5\kaizyou}{4}=30\ (通り) & 正二十面体 \bunsuu{19\kaizyou}{3}=40548366802944000\ (通り) \\[1zh] 正八面体 \bunsuu{7\kaizyou}{3}=1680\ (通り)    立方体の8つの頂点を2色\maru1,\ \maru2をすべて使って塗ることに等しい.} \\[1zh] 簡単な計算方法はないので,\ 2色を何頂点ずつ塗るかで場合分けしてしらみつぶしする. \\[.2zh] このような問題を早々に諦めてはならない.\ 実際に書き出してみると,\ その場合の数は意外と少ない. \\[.2zh] また,\ 完答できなくても,\ いくつかの場合が求まっていたならば部分点の対象になりうる. \\[1zh] 厄介なのは[4]である.\ \bm{1つの面に同色の頂点が最大何個あるか}を基準にして数えるとよい. \\[1zh] 1つの面に同色の頂点が4個になる塗り方は当然1通りである(上段左). \\[1zh] 1つの面に同色の頂点が3個になる塗り方は4通りある(下段). \\[.2zh] まず,\ 上面の3頂点に\maru1を塗るとき,\ その塗り方は1通りしかない. \\[.2zh] このとき,\ 底面の1頂点に\maru1を塗る塗り方は4通りある. \\[1zh] 1つの面に同色の頂点が最大2個になる塗り方は,\ 2通りある(上段中右). \\[.2zh] まず,\ 上面の2頂点に\maru1を塗るとき,\ その塗り方は2通りある(2頂点を結ぶ線分が辺か対角線か). \\[.2zh] そのいずれに対しても,\ 底面の2頂点に\maru1を塗る塗り方は1通りである. \\[.2zh] 上段中図において,\ これ以外の底面の頂点の塗り方をすると,\ 左側面の3頂点が同色になってしまう. \\[.2zh] 上段右図において,\ 底面の辺の両端の2頂点を塗ると,\ 1つの側面の3頂点が同色になってしまう. \\[.2zh] また,\ もう一方の対角線の両端の2頂点を塗ると,\ 上段中図の場合と重複する.
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