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OABにおいて,\ OA=5,\ OB=6,\ AB=7}とする.$ \\[.4zh] \hspace{.5zw}$\bekutoru{OA}=\bekutoru*a,\ \bekutoru{OB}=\bekutoru*b\ とするとき,\ \bekutoru*a\cdot\bekutoru*b\ の値を求めよ.$ \\
余弦定理のベクトル表示と内積の定義の成分表示}}}} \\\\
\centerline{{\small \scalebox{1}[.97]{$\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l}
要は,\ \textbf{\textcolor{blue}{「3辺の長さから内積を求めよ」}}という問題である. \\[.2zh] 内積の定義は\ \bekutoru*a\cdot\bekutoru*b=\zettaiti{\bekutoru*a}\zettaiti{\bekutoru*b}\cos\theta\ で\ \zettaiti{\bekutoru*a},\ \zettaiti{\bekutoru*b}は既知より,\ 実質的に\ \bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{\cos\theta\ を求める問題}}である. \\[.2zh] 本問が初見のほとんどの学生は,\ 余弦定理と内積の定義の利用しか思い浮かばないだろう. \\[.2zh] しかし,\ 上で示した解答が本問の正攻法である. \\[.2zh] 後は,\ \bm{大きさ\zettaiti{\bekutoru*b-\bekutoru*a}を2乗すると内積が表れる}ことを利用して求める. \\[.2zh] 本解の発想の根幹を以下で説明する.
\end{array}}\right]$}}} \\\\\\\\
\textbf{\textcolor{purple}{$\bm{\triangle}$OABに余弦定理を適用すると}} \\[.5zh] $\mathRM{AB^2=OA^2+OB^2-2OA\cdot OB\cdot \cos\theta}$ \\[1zh] これをベクトルでの表現に変換すると \\[.5zh] $\zettaiti{\bekutoru*b-\bekutoru*a}^2$を展開しただけに見えるこの式は,\ \textbf{\textcolor{blue}{実は「余弦定理」そのもの}}なのである. \\[.2zh] 余弦定理を経由せずベクトルのみで完結する本解がいかにスマートなのかがわかる.
左辺を展開した後に整理すると $\zettaiti{\bekutoru*a}\zettaiti{\bekutoru*b}\cos\theta=a_1b_1+a_2b_2$ \\[1zh] すなわち,\ \textbf{\textcolor{blue}{内積の成分表示}}\ $\bm{\textcolor{red}{\bekutoru*a\cdot\bekutoru*b=a_1b_1+a_2b_2}}$\ が導かれる.