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平面ベクトルの学習の最後に待っているのは,\ ベクトルの終点の存在範囲問題である. \\[.2zh] このとき,\ 「斜交座標系」の視点を持っているか否かで問題の理解度に雲泥の差が生まれる. \\[.2zh] 学校や塾では触れられないことが多いので,\ ここで確認しておいてほしい. \\\\\\
さて,\ まずは直交座標系における平面上の点Pを原点Oに対する位置ベクトルで表そう. \\[.2zh] \textcolor[named]{ForestGreen}{\uwave{直交座標系の単位格子に合わせて}},\ \ $\textcolor{blue}{\bekutoru{OX}=(1,\ 0),\ \bekutoru{OY}=(0,\ 1)}$とする. \\[.2zh] このとき,\ 座標平面上の点P$(x,\ y)は,\ \textcolor{red}{\bekutoru{OP}=x\bekutoru{OX}+y\bekutoru{OY}}\ と一意に表される.$ \\[.2zh] 例えば,\ 点P(3,\ 2)の位置ベクトルは,\ $\bekutoru{OP}=3\bekutoru{OX}+2\bekutoru{OY}\ となる.$ \\[.2zh] $(3,\ 2)=3(1,\ 0)+2(0,\ 1)$ということである. \\\\\\
直交座標系は,\ \textbf{\textcolor{purple}{直角のある図形や対称性の高い図形}}を扱う場合には有効である. \\[.2zh] しかし,\ 一般の三角形を扱うとなると話は変わってくる. \\[.2zh] 実際,\ 左下図のように図形を扱うのが合理的であるとは思えない. \\[.2zh] このような図形に対しては,\ 右下図のように扱う方が合理的ではないだろうか. \\[.2zh] つまり,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{2つのベクトルの向きと大きさを\uwave{三角形に合わせて}設定}}するのである. \\\\[.5zh] 直交座標系と同様に,\ \textbf{\textcolor{blue}{\bekutoru{OA},\ \bekutoru{OB}を基準とする座標系}}を考える. \\[.2zh] このとき,\ \textbf{\textcolor{red}{\bekutoru{OA},\ \bekutoru{OB}方向の軸を$\bm{s軸,\ t}$軸とする.}} \\[.2zh] すると,\ 以下のように広がる\textbf{\textcolor{blue}{斜交座標系}}が見えてくる. \\
斜交座標系は直交座標系を一般化したもの}}である. \\[.2zh] 逆に言えば,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{直交座標系は斜交座標系の特殊な場合}}である. \\[.2zh] 直交座標系とは異なり,\ 「1単位の長さが1」「2軸が直角」の必要はない. \\[.2zh] \textbf{\textcolor{red}{1単位の長さも,\ 2軸のなす角も,\ 図形に合わせて自由に設定すればよい.}} \\\\
多くのベクトルの問題では,\ $\triangle$OABのみに着目して考えてきた. \\[.2zh] その三角形は,\ \textbf{\textcolor{magenta}{無限に広がる斜交座標系の単位格子のわずか半分にすぎなかった}}のである. \\\\\\
実際の問題を解く上で最も大事なのは,\ \textbf{\textcolor{purple}{直交座標系と斜交座標系の関係}}である. \\\\
\textcolor[named]{ForestGreen}{直交座標系}の点\textcolor{red}{P}$\textcolor{red}{(x,\ y)}$は,\ $\textcolor{red}{\bekutoru{OP}=x\bekutoru{OX}+y\bekutoru{OY}}$と表される. \\[.2zh] \textcolor[named]{ForestGreen}{斜交座標系}の点\textcolor{red}{P}$\textcolor{red}{(s,\ t)}$\hspace{.5zw}は,\ \,$\textcolor{red}{\bekutoru{OP}=s\bekutoru{OA}+t\bekutoru{OB}}$\hspace{.45zw}と表される. \\[.5zh] 例として,\ $(x,\ y)=(3,\ 2)と(s,\ t)=(3,\ 2)$のときの点Pの位置を図示してみる. の(s,\ t)が,\ 直交座標系の(x,\ y)に対応している}}ことがわかる.$ \\[.4zh] この対応の理解があれば,\ $\bekutoru{OP}=s\bekutoru{OA}+t\bekutoru{OB}$が表す図形を容易にイメージできる. \\\\
$[1]$\ \ $\bekutoru{OP}=s\bekutoru{OA}+t\bekutoru{OB} (\textcolor{red}{s+t=1})$ \\[.5zh] \phantom{ $[1]$}\ \ 直交座標系における$x+y=1,\ つまり\textcolor{red}{直線y=-\,x+1}$と対応する.
「\,\bekutoru{OP}=s\bekutoru{OA}+t\bekutoru{OB}\ \ (s+t=1)」\ は,\ 2点\mathRM{A,\ B}を通る直線のベクトル方程式であった. \\[.2zh] また,\ 「\,(係数の和)=1\,」は,\ \mathRM{点Pが直線AB上にある条件}として利用できた. \\[.2zh] 斜交座標系の視点があれば,\ s+t=1のとき直線\text{AB}を表すことが容易にイメージできる.
\end{array}}\right]$}}} \\\\\\\\
$[2]$\ \ $\bekutoru{OP}=s\bekutoru{OA}+t\bekutoru{OB} (\textcolor{red}{s\geqq0,\ t\geqq0,\ s+2t\leqq2})$ \\[.5zh] \phantom{ $[1]$}\ \ 直交座標系における$\textcolor{red}{x\geqq0,\ y\geqq0,\ x+2y\leqq2\ を満たす領域}と対応する.$ \\
x+2y\leqq2\ は\ y\leqq-\bunsuu12x+1\ より,\ (2,\ 0),\ (0,\ 1)を通る直線の下部である. \\[.6zh] 不等式であるから,\ 点\mathRM{P}の存在範囲は三角形の周上または内部となる.