vector-equation-line

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直線をベクトルで表現しよう.\ 直線は,\ 数学的には\textbf{\textcolor{purple}{「点の集合」}}である. \\  点をベクトルで扱うのであるから,\ \textbf{\textcolor{red}{位置ベクトル}}の概念が有効である. \\  基準点Oを定め,\ 直線上の任意の点Pまでの位置ベクトルを\bekutoru*pとする. \\  この\textbf{\textcolor{blue}{$\bm{\bekutoru*p}$の満たす式が,\ 直線のベクトル方程式}}である. \\  以下では,\ 3つの観点から直線をベクトルで表現する. \\\\  $[1]$\ \textbf{\textcolor{red}{1点と傾きが定まれば,\ 1本の直線が定まる.}} \\[.5zh] \phantom{ $[1]$}\ 直線が通る1点Aの位置ベクトルを\bekutoru*aとする. \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ また,\ 直線の傾きは,\ \textcolor{magenta}{方向ベクトル\bekutoru*d}で表現できる. \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ 点Pは直線上を動くので,\ \textcolor{red}{実数$t$を変数として組み込む.} \\\\ \centerline{$\bm{\textcolor{blue}{点\mathRM{A}(\bekutoru*{a})を通り,\ \bekutoru*{d}\ に平行な直線のベクトル方程式}}$} \\[.5zh] \mathRM{OからPまでの位置ベクトルを求めるため},\ \bekutoru{OP}=\bekutoru{OA}+\bekutoru{AP}\ と考える. \\ ここで,\ 点\mathRM{P}は,\ 直線上を自由に動くことができる. \\ よって,\ 方向ベクトルを\bekutoru*dとすると,\ 実数tを用いて\ \bekutoru{AP}=t\bekutoru*d\ と表される. \\ なお,\ このtを\bm{媒介変数}という. \phantom{ $[1]$}\ この方程式を\textbf{\textcolor{red}{成分表示}}にすると,\ \textbf{\textcolor{blue}{直線の媒介変数表示}}が得られる. \\[.5zh] \phantom{ $[1]$}\ 例として,\ 点$(1,\ 2)$を通る傾き3の直線の媒介変数表示を求める. \\ \phantom{ $[1]$}\ 普通に求めると,\ $y=3(x-1)+2=3x-1$\ である. \\[.5zh] \phantom{ $[1]$}\ 基準点Oを原点(0,\ 0)とする. \\ \centerline{$\therefore \textcolor{blue}{直線の媒介変数表示}は \phantom{ $[1]$}\ この$\bm{\textcolor{red}{2式からtを消去すると,\ 普通の直線の方程式が得られる.}}$ \\ \phantom{ $[1]$}\ つまり $t=x-1\ より y=2+3(x-1)=3x-1$ \\\\ 2点が定まれば,\ 1本の直線が定まる.}} \\[.5zh] \phantom{ $[1]$}\ 直線が通る2点A,\ Bの位置ベクトル \phantom{ $[1]$}\ ここで,\ $1-t=s\ とおくと,\ 次のような表現に変換できる.$ \\\\ 1つ目の表現を異なる観点から見てみよう. \\ これは,\ \bm{分点の公式\ \bekutoru*p=\bunsuu{n\bekutoru*a+m\bekutoru*b}{m+n}\ で,\ m=t,\ n=1-tとしても導かれる.} \\ よって,\ \bm{線分\mathRM{AB}をt:1-tに内分・外分する点を\mathRM{P}と考えて立式してもよい.} \\ 内分点,外分点となる. \\ 2つ目の表現も異なる観点から見てみよう. \\ この式は,\ \bm{3点\mathRM{A,\ P,\ B}が一直線上にある条件}として利用できる.\ 次に例を示す. \\ \bekutoru*p=2k\bekutoru*a+3k\bekutoru*b\ のとき,\ 点\mathRM{P}が直線\mathRM{AB}上にある条件は,\ 2k+3k=1となる.  $[3]$\ \textbf{\textcolor{red}{1点と法線ベクトル$\bm{\bekutoru*n}$が与えられたときのベクトル方程式を考える.}} \\[.5zh] \phantom{ $[1]$}\ 直線が通る1点,\ これを位置ベクトルで表せばよい.$ \\\\ \centerline{$\bm{\textcolor{blue}{点\mathRM{A}(\bekutoru*a)を通り,\ 法線ベクトルが\ \bekutoru*n\ である直線のベクトル方程式}}$} \\[.5zh] \phantom{ $[1]$}\ この方程式を\textbf{\textcolor{red}{成分表示}}にすると,\ \textbf{\textcolor{blue}{直線の方程式の一般形}}が得られる. \\[.5zh] \phantom{ $[1]$}\ これは,\ \textbf{\textcolor{blue}{座標平面上の直線の方程式の一般形}}である. \\ \phantom{ $[1]$}\ 一般形には,\ \textbf{\textcolor{red}{法線ベクトルと垂直という図形的意味があった}}のだ. \\[.5zh] \phantom{ $[1]$}\ $\textcolor{magenta}{a}x+\textcolor{magenta}{b}y+c=0$から,\ 直ちに法線ベクトル\ $\textcolor{magenta}{\bekutoru*n=(a,\ b)}$\ がわかる. \\[.2zh] \phantom{ $[1]$}\ 例えば,\ 直線\ $2x-3y-5=0の法線ベクトルは,\ \bekutoru*n=(2,\ -3)である.$