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上でを満たすPの位置を求める問題を扱った. \\  これを文字のまま考えることで裏技化できる. \\\\  ここで,\ \textcolor{cyan}{辺BCを$c:b$に内分する点をD}とすると 点Pは,\ 線分BCをc:bに内分する点をD}とするとき,}$ \\[.2zh]  $  \bm{\mathRM{線分ADを\bm{(b+c):a}に内分する位置にある.}}$ \\\\  BやCを始点として,\ 同様の計算を行うと,\ 次が求まる. \\[1zh]   \textcolor{cyan}{線分CAを}$\textcolor{cyan}{a:cに内分する点を\mathRM{E}}\ とするとき   \textcolor{cyan}{線分ABを}$\textcolor{cyan}{b:aに内分する点を\mathRM{F}}\ とするとき  これらを同一の図で考えると,\ 結局Pは下図のような比となる位置にある. \\  ここで,\ \textbf{\textcolor{red}{係数を頂点に,\ 係数の和を分点の横に書き入れる}}と下図となる. \\\\  この図の意味を\textbf{\textcolor{purple}{物理的な観点}}からとらえよう. \\[1zh]  \textbf{\textcolor{purple}{三角形ABCの各頂点におもりを置いたときの重心の位置}}を考える. \\  おもりの質量が全て等しいとき,\\ を満たす位置が重心だ. \\  知っての通り,\ 中線を$2:1$に内分する点である. \\[1zh]  さて,\ \textbf{\textcolor{purple}{A,\ B,\ Cにそれぞれ$\bm{a}$[g],\ $\bm{b}$[g],\ $\bm{c}$[g]のおもりを置く}}としよう. \\  このとき,\ 重心はPの位置となる.\ このPを\textbf{\textcolor{blue}{加重重心}}という. \\  物理的には,\ モーメントのつりあいから,\ 次のように求めることができる. \\[2zh]  まず,\ \textbf{\textcolor{purple}{Bにある$\bm{b}$[g]のおもりとCにある$\bm{c}$[g]のおもりの重心}}を考える. \\  重心は,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{線分BCを$\bm{c:b}$\ (逆比)に内分する位置D}}である. \\  よって,\ \textbf{\textcolor{red}{Dの位置に$\bm{(b+c)}$[g]のおもりがある}}とみなすことができる. \\[.5zh]  \scalebox{.96}[1]{次に,\ \textbf{\textcolor{purple}{Aにある$\bm{a}$[g]のおもりとDにある$\bm{(b+c)}$[g]のおもりの重心}}を考える.} \\  重心は,\ \textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{線分ADを$\bm{(b+c):a}$\ (逆比)に内分する位置P}}となる. \\  結局,\ \textbf{\textcolor{red}{Pの位置に$\bm{(a+b+c)}$[g]のおもりがある}}とみなすことができる. \\  加重重心の考え方を用いて2つのパターン問題を解いてみよう. \\\\ を満たす\triangle ABCと点Pがある.}$ \\[1zh] \hspace{.5zw} (1)\ 点Pはどのような位置にあるか. \\[.5zh] \hspace{.5zw} (2)\ $\mathRM{\triangle PBC,\ \triangle PCA,\ \triangle PAB}\ の面積比を求めよ.$ \\  次の手順で加重重心の図を書いてしまえば,\ (1)も(2)も容易に解答できる. \\[1zh]  \maru1\ \textbf{\textcolor{red}{頂点A,\ B,\ Cの位置に,\ それぞれ係数(重み)の6,\ 4,\ 5を書く.}} \\  \maru2\ \textbf{\textcolor{red}{重みの逆比に内分する点をD,\ E,\ Fをとし,\ 重みの和を書く.}} \\  \maru3\ \textbf{\textcolor{red}{各頂点とD,\ E,\ Fを結んだ線分の交点をPとし,\ 重みの逆比を書き込む.}} \\\\  (1)\ $\bm{\mathRM{点Pは,\ 線分BCを5:4に内分する点をD}とするとき,}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ $\bm{\mathRM{線分ADを\bm{3:2}に内分する位置にある.}}$ \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ 当然,\ BやCを基準点としてもよく,\ Bを基準点とした例が次である. \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ $\bm{\mathRM{点Pは,\ 線分ACを5:6に内分する点をE}とするとき,}$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ $\bm{\mathRM{線分BEを\bm{11:4}に内分する位置にある.}}$ \\\\ これを一般化することで,\ 次が導かれるのである. (15=6+4+5) \\ \bm{a\bekutoru{PA}+b\bekutoru{PB}+c\bekutoru{PC}=\bekutoru*0\ のとき \mathRM{\triangle PBC:\triangle PCA:\triangle PAB}=a:b:c} \triangle\mathRM{OAB}において,\ 辺\mathRM{OA}を3:2に内分する点を\mathRM{C},\ 辺\mathRM{OB}を3:4に内$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$分する点を\mathRM{D},\ 線分\mathRM{ADとBC}との交点を\mathRM{P},\ 直線\mathRM{OPと辺AB}との交$ \\[.2zh]  次の手順で加重重心の図を書いてしまえば,\ (1)も(2)も容易に解答できる. \\[1zh]  \maru1\ \textbf{\textcolor{red}{\underline{ACとBDを等しくする}ために,  \maru2\ \textbf{\textcolor{red}{比から逆に,\ 頂点O,\ A,\ Bにかかる重みが4,\ 6,\ 3}}であることがわかる. \\  \maru3\ \textbf{頂点にかかる重みを元に,\ 全ての比を書き込む.} \\\\\\ 線分\text{ACとBD}の比がいずれも頂点\text{O}にかかる重みに対応する. \\ よって,\ 最初に\text{ACとBD}の比をそろえることになる.\ 他は自動的に決まる. \\ ここでは,\ 求めやすい\ \bekutoru{OQ}\ を求めた後,\ \bekutoru{OP}\ を求めた.